Obtenha o polinômio de Taylor de grau n da função f em torno do ponto a, para os valores de n e a indicados:
f(x)=sin (x), a=pi2, n=3.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau n=3 da função sin(x) em torno de a=pi/2. Para isso vamos usar a fórmula geral do polinômio de Taylor de grau n:
Pn(x) ;=; sumk=0^n f^(k)(a)k!,(x - a)^k
Precisamos, então, das derivadas de sin(x) até a ordem 3 e de seus valores em x=a.

Passo 2

As derivadas de f(x)=sin(x) são:
f(x)=sin(x), f'(x)=cos(x), f''(x)=-sin(x), f'''(x)=-cos(x)
Avaliando em a=pi/2:
fl(tfracpi2r)=1, f'l(tfracpi2r)=0, f''l(tfracpi2r)=-1, f'''l(tfracpi2r)=0

Passo 3

Substituindo esses valores na fórmula de Taylor para n=3:
P3(x) = f(a) + f'(a)1!(x-a) + f''(a)2!(x-a)^2 + f'''(a)3!(x-a)^3

Passo 4

Como f'(a)=0 e f'''(a)=0, o polinômio simplifica para
P3(x) = 1 + 0cdot(x-tfracpi2) + -12!,(x-tfracpi2)^2 + 0cdot(x-tfracpi2)^3 = 1 ;-; (x-tfracpi2)^22

Resposta

P3(x) = 1 ;-; (x - tfracpi2)^22

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