Use a regra de LHôpital para calcular os seguintes limites:
lim x infty raiz2+x^2x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxtoinftyraiz2+x^2x
usando a regra de L’Hôpital. O conteúdo aqui é identificar que temos a forma indeterminada infty/infty e, em seguida, aplicar L’Hôpital, que diz que podemos trocar o limite pela derivada do numerador sobre a derivada do denominador.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação. Quando xtoinfty, temos raiz2+x^2toinfty e xtoinfty, logo
raiz2+x^2x
é da forma infty/infty, então podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
– Numerador: raiz2+x^2 = (2+x^2)^1/2
ddxl(raiz2+x^2r) = 12(2+x^2)^-1/2cdot 2x = xraiz2+x^2
– Denominador: ddx(x)=1.
Portanto, o limite original é igual a
limxtoinftyx/raiz2+x^21 =limxtoinftyxraiz2+x^2

Passo 4

Para avaliar
limxtoinftyxraiz2+x^2,
fatoramos x^2 dentro da raiz:
xraiz2+x^2 =xraizx^2l(1+tfrac2x^2r) =x|x|raiz1+tfrac2x^2
Como xtoinfty>0, temos |x|=x, então
x|x|raiz1+tfrac2x^2 =xxraiz1+tfrac2x^2 =1raiz1+tfrac2x^2 longrightarrow1raiz1+0 =1

Resposta

O valor do limite é 1.

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