Escreva o número decimal 231,35 na base binária.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número decimal 231,35 na base binária.
Informações dadas:
  • O número decimal é \,231{,}35_{10}.
  • Queremos a representação em base 2 (binária).

Passo 2

Vamos separar a tarefa em duas partes: converter a parte inteira \,231 e converter a parte fracionária \,0{,}35. Primeiro a parte inteira.
Método (inteiro): dividir sucessivamente por 2 e registrar os restos; a leitura dos restos de baixo para cima dá os dígitos binários (do mais significativo para o menos significativo).
Mostrando as divisões na forma n = 2\cdot q + r:
231 = 2\cdot115 + 1
115 = 2\cdot57 + 1
57 = 2\cdot28 + 1
28 = 2\cdot14 + 0
14 = 2\cdot7 + 0
7 = 2\cdot3 + 1
3 = 2\cdot1 + 1
1 = 2\cdot0 + 1
Os restos (do último para o primeiro) são: 1,1,1,0,0,1,1,1. Portanto a parte inteira em binário é
231_{10} = 11100111_2.

Passo 3

Agora a parte fracionária \,0{,}35.
Primeiro transformar em fração racional exata:
0{,}35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}.
Método (fracionário): multiplicar sucessivamente a fração por 2; o dígito binário em cada etapa é a parte inteira do produto (0 ou 1); a parte fracionária resultante segue para a próxima multiplicação. Se uma fração já vista reaparece, os bits entre as ocorrências repetem (periodicidade).
Aplicação passo a passo com \,f_0=\dfrac{7}{20}:
2f_0 = 2\cdot\frac{7}{20} = \frac{14}{20} = \frac{7}{10}=0{,}7 \quad\Rightarrow\quad b_1=0,\; f_1=\frac{7}{10}.
2f_1 = 2\cdot\frac{7}{10} = \frac{14}{10}=1{,}4 \quad\Rightarrow\quad b_2=1,\; f_2=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.
2f_2 = 2\cdot\frac{2}{5} = \frac{4}{5}=0{,}8 \quad\Rightarrow\quad b_3=0,\; f_3=\frac{4}{5}.
2f_3 = 2\cdot\frac{4}{5} = \frac{8}{5}=1{,}6 \quad\Rightarrow\quad b_4=1,\; f_4=\frac{3}{5}.
2f_4 = 2\cdot\frac{3}{5} = \frac{6}{5}=1{,}2 \quad\Rightarrow\quad b_5=1,\; f_5=\frac{1}{5}.
2f_5 = 2\cdot\frac{1}{5} = \frac{2}{5}=0{,}4 \quad\Rightarrow\quad b_6=0,\; f_6=\frac{2}{5}.
Observe que f_6=\dfrac{2}{5}=f_2. Quando uma fração já vista reaparece, os bits começam a repetir com o mesmo ciclo. Então a sequência de bits a partir de b_3 repete com período igual ao número de passos até a repetição. Colocando os bits obtidos na ordem:
b_1 b_2 b_3 b_4 b_5 b_6 \ldots = 0\;1\;0\;1\;1\;0\ldots
A partir de b_3 o bloco 0110 se repete (pois a cadeia de frações \tfrac{4}{5}\to\tfrac{3}{5}\to\tfrac{1}{5}\to\tfrac{2}{5}\to\tfrac{4}{5} é cíclica). Assim a parte fracionária em binário é
0{,}35_{10} = 0{,}01\overline{0110}_2,
onde a barra indica repetição do bloco 0110.
Observação teórica curta (por que houve repetição e por que o pré-período tem comprimento 2): a fração \dfrac{7}{20} tem denominador 20=2^{2}\cdot5; a potência de 2 no denominador (aqui 2^2) cria um pré-período de até 2 dígitos binários, e o fator 5 faz a parte periódica — o período é o menor k tal que 2^k\equiv1\pmod{5}, que é k=4, consistente com repetição de 4 bits.

Passo 4

Juntando parte inteira e fracionária:
231{,}35_{10} = 11100111{,}01\overline{0110}_2.
Uma forma alternativa de escrever (mostrando os dígitos binários explicitamente) é
231{,}35_{10} = 11100111{,}01011001100110\ldots_2,
com o bloco 0110 repetindo indefinidamente.

Resposta

\,231{,}35_{10} = 11100111{,}01\overline{0110}_2

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