O enunciado pede para escrever o número decimal 231,35 na base binária.
Informações dadas:
O número decimal é \,231{,}35_{10}.
Queremos a representação em base 2 (binária).
Passo 2
Vamos separar a tarefa em duas partes: converter a parte inteira \,231 e converter a parte fracionária \,0{,}35. Primeiro a parte inteira.
Método (inteiro): dividir sucessivamente por 2 e registrar os restos; a leitura dos restos de baixo para cima dá os dígitos binários (do mais significativo para o menos significativo).
Mostrando as divisões na forma n = 2\cdot q + r:
231 = 2\cdot115 + 1
115 = 2\cdot57 + 1
57 = 2\cdot28 + 1
28 = 2\cdot14 + 0
14 = 2\cdot7 + 0
7 = 2\cdot3 + 1
3 = 2\cdot1 + 1
1 = 2\cdot0 + 1
Os restos (do último para o primeiro) são: 1,1,1,0,0,1,1,1. Portanto a parte inteira em binário é
231_{10} = 11100111_2.
Passo 3
Agora a parte fracionária \,0{,}35.
Primeiro transformar em fração racional exata:
0{,}35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}.
Método (fracionário): multiplicar sucessivamente a fração por 2; o dígito binário em cada etapa é a parte inteira do produto (0 ou 1); a parte fracionária resultante segue para a próxima multiplicação. Se uma fração já vista reaparece, os bits entre as ocorrências repetem (periodicidade).
Observe que f_6=\dfrac{2}{5}=f_2. Quando uma fração já vista reaparece, os bits começam a repetir com o mesmo ciclo. Então a sequência de bits a partir de b_3 repete com período igual ao número de passos até a repetição. Colocando os bits obtidos na ordem:
A partir de b_3 o bloco 0110 se repete (pois a cadeia de frações \tfrac{4}{5}\to\tfrac{3}{5}\to\tfrac{1}{5}\to\tfrac{2}{5}\to\tfrac{4}{5} é cíclica). Assim a parte fracionária em binário é
0{,}35_{10} = 0{,}01\overline{0110}_2,
onde a barra indica repetição do bloco 0110.
Observação teórica curta (por que houve repetição e por que o pré-período tem comprimento 2): a fração \dfrac{7}{20} tem denominador 20=2^{2}\cdot5; a potência de 2 no denominador (aqui 2^2) cria um pré-período de até 2 dígitos binários, e o fator 5 faz a parte periódica — o período é o menor k tal que 2^k\equiv1\pmod{5}, que é k=4, consistente com repetição de 4 bits.
Passo 4
Juntando parte inteira e fracionária:
231{,}35_{10} = 11100111{,}01\overline{0110}_2.
Uma forma alternativa de escrever (mostrando os dígitos binários explicitamente) é