Supondo que x é representado num computador por \bar{x}, onde \bar{x} é obtido por arredondamento, obtenha os limites superiores para os erros relativos de u=2 \bar{x} e w=\bar{x}+\bar{x}.
\mathrm{R}:\left|E R_{u}\right|<10^{-t+1} e \left|E R_{w}\right|<10^{-t+1}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Dado x real, o computador o representa por \bar{x}, obtido por arredondamento.
  • Querem-se limites superiores para os erros relativos (ou seja, os erros relativos máximos possíveis) nas grandezas
    • u = 2\bar{x},
    • w = \bar{x} + \bar{x}.
Informações relevantes implícitas que usamos (sem ainda resolver): a representação por arredondamento introduz um erro relativo em \bar{x}. Esse erro relativo será chamado de \delta e satisfará uma desigualdade do tipo |\delta|<10^{-t+1} (valor usualmente adotado no enunciado que você deu). Não começamos a calcular ainda — apenas identificamos o que é pedido e os dados que usaremos.

Passo 2

Entender e formalizar o erro de representação de \bar{x}.
  • Definição (erro relativo de representação): escrevemos a relação entre \bar{x} e x na forma \bar{x}=x(1+\delta),onde \delta é o erro relativo na representação de x. Aqui \delta é um número que pode ser positivo ou negativo; seu valor absoluto mede a fração de erro da representação.
  • Hipótese do enunciado: como \bar{x} foi obtido por arredondamento (a t algarismos significativos, seguindo o enunciado), assumimos o limite |\delta|<10^{-t+1}.(Isto significa: a representação de x no computador difere de x por uma fração cujo módulo é menor que 10^{-t+1}.)
Explicação rápida do que isso significa na prática: se |\delta|<10^{-t+1}, então a representação tem no máximo aquela fração de erro relativo. Esse é o dado que vamos propagar para as expressões pedidas.

Passo 3

Calcular o erro relativo de u=2\bar{x}.
  • Primeiro, escrevemos u em função de x usando \bar{x}=x(1+\delta): u=2\bar{x}=2x(1+\delta).
  • O valor exato que queremos comparar é 2x. Então o erro absoluto em u é u-2x=2x(1+\delta)-2x=2x\delta.
  • O erro relativo de u (relativamente ao valor exato 2x) é E R_{u}=\frac{u-2x}{2x}=\delta.
  • Tomando módulo e usando a hipótese sobre \delta, |E R_{u}|=|\delta|<10^{-t+1}.
Comentário didático: multiplicar a representação \bar{x} por 2 não altera a fração de erro relativa — o fator 2 cancela ao formar o quociente para o erro relativo. Assim o erro relativo de u é exatamente o erro relativo da representação inicial de x.

Passo 4

Calcular o erro relativo de w=\bar{x}+\bar{x}.
  • Observe que a soma de \bar{x} com ela mesma é simplesmente w=\bar{x}+\bar{x}=2\bar{x}.Assim, algebraicamente, w e u são exatamente a mesma quantidade (se nesta etapa não considerarmos nova arredondamento do resultado).
  • Repetindo o cálculo do passo anterior, escrevendo \bar{x}=x(1+\delta), w=2\bar{x}=2x(1+\delta).
  • O erro relativo de w em relação a 2x é novamente E R_{w}=\frac{w-2x}{2x}=\delta,e portanto |E R_{w}|=|\delta|<10^{-t+1}.
Observação sobre arredondamento de operações: aqui assumimos que a operação escrita \bar{x}+\bar{x} é tratada algebraicamente (ou que não há um arredondamento adicional após a soma que aumentaria o erro). Se o computador arredondasse novamente o resultado da soma, haveria um termo extra de arredondamento; mas, pelo enunciado e pelo resultado esperado, a hipótese adotada é a de que não consideramos arredondamento adicional ou que esse arredondamento é absorvido na mesma ordem de grandeza, levando ao mesmo limite numérico. Para fins dessa questão, u e w têm o mesmo limite superior para o erro relativo.

Passo 5

Resumo final e incentivo.
  • Concluímos que tanto u quanto w têm erro relativo igual a \delta, o erro relativo da representação \bar{x}.
  • Como |\delta|<10^{-t+1}, obtemos os limites pedidos.
Força aí — isso mostra que somar a representação consigo mesma ou multiplicá-la por 2 (na forma dada) não piora o erro relativo além do já presente na representação de x.

Resposta

|E R_{u}|<10^{-t+1}
|E R_{w}|<10^{-t+1}

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