Supondo que
é representado num computador por
, onde
é obtido por arredondamento, obtenha os limites superiores para os erros relativos de
e
.
e
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Dado
real, o computador o representa por , obtido por arredondamento. - Querem-se limites superiores para os erros relativos (ou seja, os erros relativos máximos possíveis) nas grandezas
-
, -
.
-
Informações relevantes implícitas que usamos (sem ainda resolver): a representação por arredondamento introduz um erro relativo em
. Esse erro relativo será chamado de
e satisfará uma desigualdade do tipo
(valor usualmente adotado no enunciado que você deu). Não começamos a calcular ainda — apenas identificamos o que é pedido e os dados que usaremos.
Passo 2
Entender e formalizar o erro de representação de
.
- Definição (erro relativo de representação): escrevemos a relação entre
e na forma onde é o erro relativo na representação de . Aqui é um número que pode ser positivo ou negativo; seu valor absoluto mede a fração de erro da representação. - Hipótese do enunciado: como
foi obtido por arredondamento (a algarismos significativos, seguindo o enunciado), assumimos o limite (Isto significa: a representação de no computador difere de por uma fração cujo módulo é menor que .)
Explicação rápida do que isso significa na prática: se
, então a representação tem no máximo aquela fração de erro relativo. Esse é o dado que vamos propagar para as expressões pedidas.
Passo 3
Calcular o erro relativo de
.
- Primeiro, escrevemos
em função de usando : - O valor exato que queremos comparar é
. Então o erro absoluto em é . - O erro relativo de
(relativamente ao valor exato ) é - Tomando módulo e usando a hipótese sobre
,
Comentário didático: multiplicar a representação
por
não altera a fração de erro relativa — o fator 2 cancela ao formar o quociente para o erro relativo. Assim o erro relativo de
é exatamente o erro relativo da representação inicial de
.
Passo 4
Calcular o erro relativo de
.
- Observe que a soma de
com ela mesma é simplesmente Assim, algebraicamente, e são exatamente a mesma quantidade (se nesta etapa não considerarmos nova arredondamento do resultado). - Repetindo o cálculo do passo anterior, escrevendo
, - O erro relativo de
em relação a é novamente e portanto
Observação sobre arredondamento de operações: aqui assumimos que a operação escrita
é tratada algebraicamente (ou que não há um arredondamento adicional após a soma que aumentaria o erro). Se o computador arredondasse novamente o resultado da soma, haveria um termo extra de arredondamento; mas, pelo enunciado e pelo resultado esperado, a hipótese adotada é a de que não consideramos arredondamento adicional ou que esse arredondamento é absorvido na mesma ordem de grandeza, levando ao mesmo limite numérico. Para fins dessa questão,
e
têm o mesmo limite superior para o erro relativo.
Passo 5
Resumo final e incentivo.
- Concluímos que tanto
quanto têm erro relativo igual a , o erro relativo da representação . - Como
, obtemos os limites pedidos.
Força aí — isso mostra que somar a representação consigo mesma ou multiplicá-la por 2 (na forma dada) não piora o erro relativo além do já presente na representação de
.