Escreva os números complexos na forma a+b i.
z=10\left(\cos \frac{\pi}{5}+i \sin \frac{\pi}{5}\right)

Passo 1

O enunciado dá o número complexo em forma polar
z = 10\bigl(\cos\tfrac{\pi}{5} + i\sin\tfrac{\pi}{5}\bigr)
e pede a forma retangular a + b\,i. Vamos usar a definição
a = 10\cos\tfrac{\pi}{5}, \quad b = 10\sin\tfrac{\pi}{5}.

Passo 2

Determinar os valores exatos de \cos\tfrac{\pi}{5} e \sin\tfrac{\pi}{5}. Sabe-se que
\cos\tfrac{\pi}{5} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}, \qquad \sin\tfrac{\pi}{5} = \sqrt{1 - \bigl(\tfrac{\sqrt{5}+1}{4}\bigr)^2} = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}.

Passo 3

Multiplicar cada valor por 10:
a = 10\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{4} = \frac{10(\sqrt{5}+1)}{4} = \frac{5(\sqrt{5}+1)}{2},
b = 10\cdot\frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4} = \frac{10\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4} = \frac{5\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{2}.

Resposta

z = \frac{5(\sqrt{5}+1)}{2} \;+\; i\,\frac{5\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{2}.

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