Escreva os números complexos na forma polar e exponencial:
\frac{3}{-1+i}

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo \displaystyle \frac{3}{-1+i}
nas formas polar e exponencial. Vamos primeiro simplificar essa fração para obter a forma retangular x+iy, depois calcular módulo e argumento.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de -1+i, que é -1-i, para passar à forma x+iy:
\frac{3}{-1+i} =\frac{3(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)} =\frac{-3-3i}{(-1)^2-(i)^2} =\frac{-3-3i}{1-(-1)} =\frac{-3-3i}{2} =-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}i.
Logo, z=-\tfrac32-\tfrac32i.

Passo 3

O módulo de z=x+iy é
r=|z|=\sqrt{x^2+y^2} =\sqrt{\Bigl(-\tfrac32\Bigr)^2+\Bigl(-\tfrac32\Bigr)^2} =\sqrt{\tfrac{9}{4}+\tfrac{9}{4}} =\sqrt{\tfrac{18}{4}} =\frac{3\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

O argumento \theta satisfaz \tan\theta=y/x. Aqui
\tan\theta =\frac{-\frac32}{-\frac32} =1,
mas (x,y)=(-\tfrac32,-\tfrac32) está no terceiro quadrante. O ângulo de referência para \tan=1 é \pi/4, então
\theta=\pi+\frac{\pi}{4} =\frac{5\pi}{4}.

Passo 5

Na forma polar r(\cos\theta+i\sin\theta), temos
z =\frac{3\sqrt{2}}{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr).

Passo 6

Na forma exponencial re^{i\theta}, basta substituir r e \theta:
z =\frac{3\sqrt{2}}{2}\,e^{\,i\frac{5\pi}{4}}.

Resposta

Polar:
z=\frac{3\sqrt{2}}{2}\Bigl(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\Bigr).
Exponencial:
z=\frac{3\sqrt{2}}{2}\,e^{\,i\frac{5\pi}{4}}.

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