Escreva os números complexos na forma a+b i.
z=6\left(\cos \frac{\pi}{8}+i \sin \frac{\pi}{8}\right)

Passo 1

O enunciado pede para escrever na forma a+b\,i o número complexo dado em forma trigonométrica
z = 6\bigl(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}\bigr).
Para isso, vamos usar a relação entre forma trigonométrica e forma cartesiana, além das fórmulas de meio-ângulo para cosseno e seno.

Passo 2

Da forma trigonométrica sabemos que
a = r\cos\varphi \quad\text{e}\quad b = r\sin\varphi,
onde aqui r=6 e \varphi = \frac{\pi}{8}. Logo precisamos de \cos\frac{\pi}{8} e \sin\frac{\pi}{8}.

Passo 3

Usamos as fórmulas de meio-ângulo:
\cos\frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 + \cos\frac{\pi}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2},
\sin\frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 - \cos\frac{\pi}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}.

Passo 4

Agora multiplicamos por r=6:
a = 6\cos\frac{\pi}{8} = 6\cdot\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} = 3\sqrt{2 + \sqrt{2}},
b = 6\sin\frac{\pi}{8} = 6\cdot\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} = 3\sqrt{2 - \sqrt{2}}.

Resposta

z = 3\sqrt{2 + \sqrt{2}} \;+\; i\,3\sqrt{2 - \sqrt{2}}.

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