Escreva os números complexos na forma polar e exponencial:
\sqrt{3}+i

Passo 1

O problema quer que a gente pegue o número complexo z = \sqrt{3} + i e o escreva na forma polar
z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr)
e na forma exponencial
z = re^{i\theta}.
Para isso, precisamos achar o módulo r e o argumento \theta.

Passo 2

Calcular o módulo r. Por definição,
r = |z| = \sqrt{\bigl(\Re(z)\bigr)^2 + \bigl(\Im(z)\bigr)^2} =\sqrt{\bigl(\sqrt{3}\bigr)^2 + 1^2} =\sqrt{3 + 1} =\sqrt{4} =2.

Passo 3

Determinar o argumento \theta. Como \Re(z)=\sqrt{3}>0 e \Im(z)=1>0, z está no primeiro quadrante, e
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{\Im(z)}{\Re(z)}\bigr) =\arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) =\tfrac{\pi}{6}.

Passo 4

Escrever z na forma polar usando r=2 e \theta=\pi/6:
z = 2\bigl(\cos(\tfrac{\pi}{6}) + i\sin(\tfrac{\pi}{6})\bigr).

Passo 5

Converter para a forma exponencial:
z = 2e^{\,i\pi/6}.

Resposta

Polar: 2\bigl(\cos(\tfrac{\pi}{6}) + i\sin(\tfrac{\pi}{6})\bigr)
Exponencial: 2e^{\,i\pi/6}

Exercícios relacionados