Nos problemas a seguir, use coeficientes a determinar para resolver a equação diferencial dada
y^{\prime \prime}-y=\operatorname{cosh} (x), y(0)=2, y^{\prime}(0)=12

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y = \operatorname{cosh}(x)
sujeita às condições iniciais
y(0)=2,\quad y'(0)=12.
O método é: (i) resolver a parte homogênea, (ii) encontrar uma solução particular por coeficientes a determinar e (iii) aplicar as condições iniciais.

Passo 2

A parte homogênea é
y_h'' - y_h = 0.
A equação característica é
r^2 - 1 = 0
com raízes r=1 e r=-1. Assim
y_h = C_1 e^x + C_2 e^{-x}.

Passo 3

Como o termo não homogêneo é \operatorname{cosh}(x), que gera \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh} já na homogênea, multiplicamos o palpite por x. Escolhemos
y_p = x\bigl(A\operatorname{cosh}(x) + B\operatorname{sinh}(x)\bigr).
Calculando y_p''-y_p (agrupando termos) obtemos
y_p'' - y_p = 2A\,\operatorname{sinh}(x) + 2B\,\operatorname{cosh}(x).
Para valer \operatorname{cosh}(x) precisamos
2A = 0,\quad 2B = 1 \quad\Longrightarrow\quad A=0,\;B=\tfrac12.
Logo
y_p = \frac{x}{2}\operatorname{sinh}(x).

Passo 4

A solução geral é
y = y_h + y_p = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + \frac{x}{2}\operatorname{sinh}(x).
Derivando,
y' = C_1 e^x - C_2 e^{-x} + \frac{\operatorname{sinh}(x) + x\operatorname{cosh}(x)}{2}.
Em x=0 as condições iniciais dão
y(0)=C_1 + C_2 = 2, \qquad y'(0)=C_1 - C_2 = 12.

Passo 5

Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = 2,\\\ C_1 - C_2 = 12, \end{cases}
encontramos
C_1 = 7,\quad C_2 = -5.

Resposta

y(x) = 7e^x \;-\; 5e^{-x} \;+\;\frac{x}{2}\operatorname{sinh}(x).

Exercícios relacionados