Nos problemas a seguir, use coeficientes a determinar para resolver a equação diferencial dada
5 y^{\prime \prime}+y^{\prime}=-6 x, y(0)=0, y^{\prime}(0)=-10

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
5\,y'' + y' = -6x
sujeita às condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=-10.
O método escolhido é o de coeficientes a determinar, que consiste em achar a solução geral como soma da solução da homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Vamos primeiro achar a solução da equação homogênea associada
5\,y'' + y' = 0.
Aí vem a equação característica:
5r^2 + r = 0 \quad\Longrightarrow\quad r\,(5r+1)=0 \quad\Longrightarrow\quad r_1=0,\;r_2=-\tfrac15.
Logo a parte homogênea é
y_h(x) = C_1 + C_2\,e^{-x/5}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p(x). Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1 e r=0 já é raiz da característica, multiplicamos o palpite padrão Ax+B por x, obtendo
y_p(x) = A x^2 + B x.
Calculamos as derivadas:
y_p'(x) = 2A x + B, \quad y_p''(x) = 2A.
Substituindo em 5y''+y'=-6x:
5\,(2A) + (2A x + B) = 10A + 2A x + B \stackrel!= -6x + 0.
Comparando coeficientes de x e constante:
2A = -6 \implies A = -3, \quad 10A + B = 0 \implies B = 30.
Logo
y_p(x) = -3x^2 + 30x.

Passo 4

A solução geral é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 + C_2\,e^{-x/5} \;-\; 3x^2 + 30x.

Passo 5

Impondo as condições iniciais:
  1. y(0)=0
C_1 + C_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = -C_2.
  1. Para y'(x), derivamos
y'(x) = 0 + C_2\bigl(-\tfrac15 e^{-x/5}\bigr) -6x + 30 = -\tfrac{C_2}{5}\,e^{-x/5} -6x +30.
Logo em x=0:
y'(0) = -\tfrac{C_2}{5} +30 = -10 \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac{C_2}{5} = -40 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = 200,
e portanto C_1 = -200.

Passo 6

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos
y(x) = -200 + 200\,e^{-x/5} \;-\; 3x^2 + 30x.

Resposta

y(x) = -200 + 200\,e^{-x/5} - 3x^2 + 30x.

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