Nos problemas a seguir, use coeficientes a determinar para resolver a equação diferencial dada
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
e
.
O método escolhido é o de coeficientes a determinar, que consiste em achar a solução geral como soma da solução da homogênea e de uma solução particular.
O método escolhido é o de coeficientes a determinar, que consiste em achar a solução geral como soma da solução da homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Vamos primeiro achar a solução da equação homogênea associada
Aí vem a equação característica:
Logo a parte homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
. Como o termo não homogêneo é um polinômio de grau 1 e
já é raiz da característica, multiplicamos o palpite padrão
por
, obtendo
Calculamos as derivadas:
Substituindo em
:
Comparando coeficientes de
e constante:
Logo
Passo 4
A solução geral é
Passo 5
Impondo as condições iniciais:
-
dá
- Para
, derivamos
Logo em
:
e portanto
.
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral, obtemos