Suponha f: R^2 R contínua em um disco D centrado em (a, b) e de raio r. Use o Teorema do valor médio para integrais (exercício 20) para provar que
lim r 0^+ 1pi r^2 integral duplaD f(x, y) d A=f(a, b)
Obs 1 O resultado acima é conhecido como Teorema da diferenciação de Lebesgue para funções contínuas. Em um certo sentido, ele diz que a derivada de uma integral é o valor da função original no ponto (a, b), tal resultado também é válido no caso unidimensional, i.e,
lim x a^+ 1x-a integrala^x f(t) d t=f(a)
ou
lim h 0 1h integrala^a+h f(t) d t=f(a)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma função continua f definida num disco D de raio r centrado em (a,b), a média de f sobre D converge para f(a,b) quando rto0^+. Vamos usar o Teorema do Valor Médio para integrais duplas e a continuidade de f.

Passo 2

Pelo Teorema do Valor Médio para integrais duplas, existe um ponto tal que
Dividindo ambos os lados por , obtemos

Passo 3

Quando rto0^+, o disco D encolhe até o ponto (a,b). Assim qualquer ponto (xir,etar)in D satisfaz
limrto0^+(xir,etar) = (a,b)
Como f é contínua em (a,b), segue que
limrto0^+f(xir,etar) = f(a,b)
Portanto,
limrto0^+1pi r^2integral duplaD f(x,y),dA =;f(a,b)

Resposta

f(a,b)

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