Suponha
contínua em um disco
centrado em
e de raio
. Use o Teorema do valor médio para integrais (exercício 20) para provar que
Obs 1 O resultado acima é conhecido como Teorema da diferenciação de Lebesgue para funções contínuas. Em um certo sentido, ele diz que a derivada de uma integral é o valor da função original no ponto
, tal resultado também é válido no caso unidimensional, i.e,
ou
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma função continua
definida num disco
de raio
centrado em
, a média de
sobre
converge para
quando
. Vamos usar o Teorema do Valor Médio para integrais duplas e a continuidade de
.
Passo 2
Pelo Teorema do Valor Médio para integrais duplas, existe um ponto
tal que
Dividindo ambos os lados por
, obtemos
Passo 3
Quando
, o disco
encolhe até o ponto
. Assim qualquer ponto
satisfaz
Como
é contínua em
, segue que
Portanto,