Escreva o polinômio real v=t^2+4 t-3 como combinação linear dos polinômios u1, = t^2-2 t+5, u2=2 t^2-3 t, u3=t+3.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o polinômio
v(t)=t^2+4t-3
como combinação linear dos polinômios
u1(t)=t^2-2t+5, u2(t)=2t^2-3t, u3(t)=t+3
Isso é conteúdo de espaço vetorial de polinômios: precisamos achar escalares a,b,c tais que
a,u1(t)+b,u2(t)+c,u3(t)=v(t)

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e agrupando termos iguais de t, temos
a,(t^2-2t+5)+b,(2t^2-3t)+c,(t+3) =t^2+4t-3
Expandindo e coletando coeficientes:
coeficiente de t^2 é a+2b,
coeficiente de t é -2a-3b+c,
termo constante é 5a+3c.
Igualando aos coeficientes de v(t), obtemos o sistema
a+2b=1, -2a-3b+c=4, 5a+3c=-3

Passo 3

Da primeira equação segue
a=1-2b
Substituindo em -2a-3b+c=4 e em 5a+3c=-3:
-2(1-2b)-3b+c=4 ;Rightarrow;-2+4b-3b+c=4 ;Rightarrow;b+c=6,
5(1-2b)+3c=-3 ;Rightarrow;5-10b+3c=-3 ;Rightarrow;3c-10b=-8

Passo 4

Do sistema
b+c=6, -10b+3c=-8,
subtraímos 3 vezes a primeira da segunda:
-10b+3c-3(b+c)= -8-3cdot6 ;Rightarrow;-10b+3c-3b-3c=-8-18 ;Rightarrow;-13b=-26 ;Rightarrow;b=2
Então c=6-b=4 e a=1-2b=1-4=-3.

Resposta

v(t)=-3,u1(t)+2,u2(t)+4,u3(t)

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