Mostre que o conjunto de vetores 1, x, x^2, 2+x+x^2 de P2(R) é L.D. e que qualquer subconjunto de três elementos dele é L.I.
Nota: P2(R) é o espaço vetorial dos polinômios de grau igual ou inferior a a 2 com coeficientes reais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto
1,,x,,x^2,,2+x+x^2subset P2(R)
é linearmente dependente e que qualquer subconjunto de três vetores desse conjunto é linearmente independente.
Conteúdo: combinações lineares em P2(R), dependência e independência linear.

Passo 2

Para provar dependência linear, buscamos uma combinação não trivial
acdot1 + bcdot x + ccdot x^2 + d,(2+x+x^2) = 0
onde 0 é o polinômio nulo.

Passo 3

Escrevendo coeficiente a coeficiente:
(a + 2d) + (b + d)x + (c + d)x^2 equiv 0
implica o sistema
a + 2d = 0, b + d = 0, c + d = 0
Escolhendo, por exemplo, d=1 temos a=-2, b=-1, c=-1. Logo
-2cdot1 ;-;1cdot x ;-;1cdot x^2 ;+;1cdot(2+x+x^2) = 0,
que é uma combinação não trivial, mostrando que o conjunto é linearmente dependente.

Passo 4

Agora, para qualquer subconjunto de três elementos, note que dim P2(R)=3. Se mostrarmos que cada tripla gera o espaço ou, equivalentemente, cujos vetores são linearmente independentes, teremos o resultado.

Passo 5

Caso 1: 1,x,x^2 é a base padrão de P2(R), logo é linearmente independente.

Passo 6

Caso 2: 1,x,,2+x+x^2. Em coordenadas na base 1,x,x^2 esses vetores são
(1,0,0),(0,1,0),(2,1,1)
O determinante da matriz
1 & 0 & 2 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1
é 1neq0, logo são linearmente independentes.

Passo 7

Caso 3: 1,x^2,,2+x+x^2. Coordenadas
(1,0,0),(0,0,1),(2,1,1)
O determinante da matriz
1 & 0 & 2 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1
é -1neq0, logo independentes.

Passo 8

Caso 4: x,x^2,,2+x+x^2. Coordenadas
(0,1,0),(0,0,1),(2,1,1)
O determinante da matriz
0 & 0 & 2 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1
é 2neq0, logo independentes.

Resposta

O conjunto 1,x,x^2,2+x+x^2 é linearmente dependente, pois existe combinação não trivial que o anula. Qualquer subconjunto de três elementos é linearmente independente, pois cada tripla forma uma matriz de coordenadas de determinante não nulo.

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