Escreva, se possível, cada vetor v como combinação linear dos elementos do conjunto S :
(a) v=(ll1 & 1 0 & 1) e S=(ll3 & 2 0 & 0),(ll0 & 0 0 & 3),(ll0 & 0 1 & 0),(ll4 & 1 9 & 5);

Passo 1

O enunciado pede para escrever vin M2times2 como combinação linear dos vetores de
S=S1,S2,S3,S4
onde
v=1 & 1 0 & 1, S1=3 & 2 0 & 0,; S2=0 & 0 0 & 3,; S3=0 & 0 1 & 0,; S4=4 & 1 9 & 5
É conteúdo de combinação linear em espaço vetorial de matrizes.

Passo 2

Suponha
v = aS1 + bS2 + cS3 + dS4
Isso dá
a3 & 2 0 & 0 + b0 & 0 0 & 3 + c0 & 0 1 & 0 + d4 & 1 9 & 5 = 1 & 1 0 & 1
Igualando entradas, obtemos o sistema
3a + 4d = 1, 2a + d = 1, c + 9d = 0, 3b + 5d = 1

Passo 3

Das duas primeiras equações resolvemos a e d. Da segunda temos
d = 1 - 2a
Substituindo na primeira:
3a + 4(1-2a) = 1 ;Rightarrow; 3a + 4 -8a = 1 ;Rightarrow; -5a = -3 ;Rightarrow; a = tfrac35,
e então
d = 1 - 2cdottfrac35 = 1 - tfrac65 = -tfrac15

Passo 4

Da terceira equação
c + 9d = 0 ;Rightarrow; c = -9d = -9l(-tfrac15r) = tfrac95
Da quarta
3b + 5d = 1 ;Rightarrow; 3b + 5l(-tfrac15r) = 1 ;Rightarrow; 3b -1 = 1 ;Rightarrow; 3b = 2 ;Rightarrow; b = tfrac23

Resposta

1 & 1 0 & 1 =tfrac35 3 & 2 0 & 0 +tfrac23 0 & 0 0 & 3 +tfrac95 0 & 0 1 & 0 -tfrac15 4 & 1 9 & 5

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