Escreva, se possível, o vetor u como combinação linear do conjunto C :
u=(3,1,-1,-3) e C=\{(1,2,3,4),(4,3,2,1)\} \subseteq \mathbb{R}^{4}

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor
\,u=(3,1,-1,-3)
como combinação linear dos vetores
\,(1,2,3,4) e (4,3,2,1).
O conteúdo envolvido é resolver um sistema linear para encontrar escalares \alpha e \beta tais que
\alpha(1,2,3,4)+\beta(4,3,2,1)=u.

Passo 2

Vamos montar a equação vetorial e igualar componente a componente. Seja \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha(1,2,3,4)+\beta(4,3,2,1)=(3,1,-1,-3).
Isso gera o sistema
\begin{cases} \alpha + 4\beta = 3,\\\\ 2\alpha + 3\beta = 1,\\\\ 3\alpha + 2\beta = -1,\\\\ 4\alpha + \beta = -3. \end{cases}

Passo 3

Usamos as duas primeiras equações para achar \alpha e \beta. Da primeira vem
\alpha = 3 - 4\beta.
Substituindo na segunda:
2(3 - 4\beta) + 3\beta = 1 \quad\Longrightarrow\quad 6 - 8\beta + 3\beta = 1 \quad\Longrightarrow\quad -5\beta = -5 \quad\Longrightarrow\quad \beta = 1.
Logo
\alpha = 3 - 4\cdot1 = -1.

Passo 4

Verificamos as outras duas equações para confirmar consistência.
Na terceira:
3\alpha + 2\beta = 3(-1) + 2\cdot1 = -3 + 2 = -1,
na quarta:
4\alpha + \beta = 4(-1) + 1 = -4 + 1 = -3.
Ambas se satisfazem, então o sistema é consistente.

Passo 5

Concluímos que
\alpha = -1,\quad \beta = 1
funcionam e, portanto,
u = -1\,(1,2,3,4) \;+\; 1\,(4,3,2,1).

Resposta

u = -1\,(1,2,3,4) + 1\,(4,3,2,1).

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