Escreva, se possível, o vetor u como combinação linear do conjunto C :
u=(3,0,2,2,2) \mathrm{e}
C=\{(1,1,1,1,1),(1,0,1,0,1),(1,-1,0,0,0),(0,0,0,1,0)\} \subseteq \mathbb{R}^{5}

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor u=(3,0,2,2,2) como combinação linear dos vetores de
C=\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\}\subseteq\mathbb{R}^{5},
onde
v_{1}=(1,1,1,1,1),\quad v_{2}=(1,0,1,0,1),\quad v_{3}=(1,-1,0,0,0),\quad v_{4}=(0,0,0,1,0).
O conteúdo é sistema linear: vamos atribuir coeficientes a,b,c,d e resolver o sistema resultante.

Passo 2

Suponha
a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}+d\,v_{4}=u.
Isso gera, componente a componente, o sistema
\begin{cases} a+b+c=3,\\\ a-c=0,\\\ a+b=2,\\\ a+d=2,\\\ a+b=2. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação vem
c=a.
Da terceira (e da quinta, idêntica) vem
a+b=2\;\Longrightarrow\;b=2-a.
Substituindo em a+b+c=3 obtemos
a+(2-a)+a=3\quad\Longrightarrow\quad2a+2=3\quad\Longrightarrow\quad a=1.
Logo b=2-1=1 e c=a=1.

Passo 4

Para achar d, usamos a+d=2:
d=2-a=2-1=1.

Passo 5

Temos assim (a,b,c,d)=(1,1,1,1). Em outras palavras,
u=1\cdot v_{1}+1\cdot v_{2}+1\cdot v_{3}+1\cdot v_{4}.

Resposta

u=(3,0,2,2,2)=v_{1}+v_{2}+v_{3}+v_{4}.

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