Dê exemplos de dois subespaços do
cuja união:
(a) Não é um subespaço do
.
(b) É um subespaço do
.
(a) Não é um subespaço do
(b) É um subespaço do
Passo 1
O enunciado pede que a gente dê dois exemplos de subespaços de
cujas uniões (a) não formam subespaço e (b) formam subespaço. O conteúdo é teoria de subespaços vetoriais, em particular a condição de que a união de dois subespaços só é subespaço se um estiver contido no outro.
Passo 2
Para o item (a) basta escolher duas retas pelo origem com declives diferentes. Por exemplo, seja
e
Passo 3
A união
não é subespaço porque não é fechada sob soma. Por exemplo,
e
, mas
não pertence nem a
nem a
. Logo
falha na condição de subespaço.
Passo 4
Para o item (b) precisamos de dois subespaços em que um fique contido no outro, pois aí a união coincide com o maior. Uma escolha simples é
e
Passo 5
Aqui
, logo
Como
é uma reta pelo origem (subespaço de
), sua união é subespaço.
Resposta
(a)
e
. A união não é subespaço.
(b) e
. A união é subespaço (igual a
).
(b)