Dê exemplos de dois subespaços do \mathbb{R}^{2} cuja união:
(a) Não é um subespaço do \mathbb{R}^{2}.
(b) É um subespaço do \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente dê dois exemplos de subespaços de \mathbb{R}^2 cujas uniões (a) não formam subespaço e (b) formam subespaço. O conteúdo é teoria de subespaços vetoriais, em particular a condição de que a união de dois subespaços só é subespaço se um estiver contido no outro.

Passo 2

Para o item (a) basta escolher duas retas pelo origem com declives diferentes. Por exemplo, seja
M = \{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}
e
N = \{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\}.

Passo 3

A união M\cup N não é subespaço porque não é fechada sob soma. Por exemplo, (1,0)\in M e (0,1)\in N, mas
(1,0)+(0,1)=(1,1)
não pertence nem a M nem a N. Logo M\cup N falha na condição de subespaço.

Passo 4

Para o item (b) precisamos de dois subespaços em que um fique contido no outro, pois aí a união coincide com o maior. Uma escolha simples é
M = \{(0,0)\}
e
N = \{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}.

Passo 5

Aqui M\subset N, logo
M\cup N = N.
Como N é uma reta pelo origem (subespaço de \mathbb{R}^2), sua união é subespaço.

Resposta

(a) M = \{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\} e N = \{(0,y)\mid y\in\mathbb{R}\}. A união não é subespaço.
(b) M = \{(0,0)\} e N = \{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}. A união é subespaço (igual a N).

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