Dê exemplos de um subespaço vetorial do
:
Que tenha dimensão 2, dando uma base e uma equação.
Que tenha dimensão 2, dando uma base e uma equação.
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de subespaço vetorial de
que tenha dimensão 2, fornecendo uma base e uma equação que o defina. Vamos usar o fato de que qualquer plano que passa pela origem em
é um subespaço de dimensão 2 e pode ser dado como o núcleo de um funcional linear.
Passo 2
Definimos o conjunto
Para verificar que
é subespaço vetorial, notamos:
- O vetor zero
satisfaz , logo . - Se
e estão em , então
também tem terceira componente zero, logo está em
.
3. Para qualquer escalar e
,
3. Para qualquer escalar
continua em
. Assim,
é subespaço de
.
Passo 3
Qualquer vetor de
pode ser escrito como
Os vetores
e
são linearmente independentes e geram todo
. Portanto,
é uma base de
e mostra que
.
Resposta
O subespaço é
possui base
e é definido pela equação em bloco: