Dê exemplos de um subespaço vetorial do \mathbb{R}^{3} :
Que tenha dimensão 2, dando uma base e uma equação.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de subespaço vetorial de \mathbb{R}^3 que tenha dimensão 2, fornecendo uma base e uma equação que o defina. Vamos usar o fato de que qualquer plano que passa pela origem em \mathbb{R}^3 é um subespaço de dimensão 2 e pode ser dado como o núcleo de um funcional linear.

Passo 2

Definimos o conjunto
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z = 0\}.
Para verificar que W é subespaço vetorial, notamos:
  1. O vetor zero (0,0,0) satisfaz z=0, logo 0\in W.
  2. Se (x_1,y_1,0) e (x_2,y_2,0) estão em W, então
(x_1,y_1,0)+(x_2,y_2,0) = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;0)
também tem terceira componente zero, logo está em W.
3. Para qualquer escalar \lambda\in\mathbb{R} e (x,y,0)\in W,
\lambda\,(x,y,0) = (\lambda x,\;\lambda y,\;0)
continua em W. Assim, W é subespaço de \mathbb{R}^3.

Passo 3

Qualquer vetor de W pode ser escrito como
(x,y,0) = x\,(1,0,0) + y\,(0,1,0).
Os vetores (1,0,0) e (0,1,0) são linearmente independentes e geram todo W. Portanto,
\mathcal{B} = \{(1,0,0),\,(0,1,0)\}
é uma base de W e mostra que \dim W=2.

Resposta

O subespaço é
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z = 0\},
possui base
\{(1,0,0),\,(0,1,0)\},
e é definido pela equação em bloco:
z = 0.

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