Questão 3. Determine se cada sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite. Justifique cada passo:
a_{n}=n^{\frac{1}{n}}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \,a_{n}=n^{\frac{1}{n}}\, para n\in\mathbb{N} e pede para determinar se a sequência converge ou diverge e, caso converja, encontrar o limite.
Informações relevantes fornecidas:
  • A sequência está definida por a_{n}=n^{\frac{1}{n}}.
  • Para todo n\ge1 tem-se a_n>0 (logo o logaritmo natural está bem definido).
    O objetivo é decidir convergência e, se convergir, calcular \lim_{n\to\infty} a_n.

Passo 2

Para simplificar o tratamento desta sequência, aplicamos o logaritmo natural porque ele transforma potências em produtos e deixa as expressões mais fáceis de analisar. Defina
b_{n}=\ln(a_{n}).
Usando a propriedade do logaritmo \ln(x^{c})=c\ln x, obtemos
b_{n}=\ln\!\big(n^{\frac{1}{n}}\big)=\frac{1}{n}\ln n=\frac{\ln n}{n}.
Explicando devagar: \ln é a função que transforma multiplicação em soma e potências em multiplicação pela potência; como a_n>0, \ln(a_n) está bem definido para todo n.

Passo 3

Agora estudamos o limite de \,b_{n}=\dfrac{\ln n}{n}\, quando n\to\infty. É útil passar para uma função real e usar um resultado padrão: considere a função real
f(x)=\frac{\ln x}{x},\qquad x>0.
Queremos \lim_{x\to\infty} f(x). Note que tanto \ln x\to\infty quanto x\to\infty, portanto a expressão é uma indeterminação do tipo \infty/\infty. Aplicando a Regra de L’Hôpital (condições satisfeitas: numerador e denominador diferenciáveis e tendem a infinito), diferenciamos numerador e denominador:
  • derivada do numerador \ln x é \dfrac{1}{x};
  • derivada do denominador x é 1.
    Pelo L’Hôpital,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.
Como b_n=f(n) (ou seja, b_n é a amostragem da função f nos inteiros), segue que
\lim_{n\to\infty} b_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0.
Comentário intuitivo (sem cálculo): \ln n cresce muito mais devagar que n, por isso a razão \ln n / n tende a zero.

Passo 4

Voltando para a_n: temos a_n=e^{b_n} porque b_n=\ln a_n. Usamos agora a continuidade da função exponencial: se b_n\to L então e^{b_n}\to e^{L}. Como do passo anterior \lim_{n\to\infty} b_{n}=0, segue
\lim_{n\to\infty} a_{n}= \lim_{n\to\infty} e^{b_{n}}= e^{0}=1.
Portanto a sequência converge e o limite é 1.

Passo 5

Observações extras (úteis para prova ou intuição):
  • Para n=1 tem-se a_1=1. Para n\ge2 tem-se a_n>1 mas a sequência se aproxima de 1 quando n cresce.
  • Alternativa sem L’Hôpital: pode-se comparar ordens de crescimento (polinomial cresce muito mais rápido que logarítmico) ou usar estimativas elementares para mostrar \ln n/n\to0. Ambas as abordagens levam à mesma conclusão.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=1.

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