Questão 3. Determine se cada sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite. Justifique cada passo:
Passo 1
O enunciado dá a sequência
para
e pede para determinar se a sequência converge ou diverge e, caso converja, encontrar o limite.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A sequência está definida por
. - Para todo
tem-se (logo o logaritmo natural está bem definido).
O objetivo é decidir convergência e, se convergir, calcular.
Passo 2
Para simplificar o tratamento desta sequência, aplicamos o logaritmo natural porque ele transforma potências em produtos e deixa as expressões mais fáceis de analisar. Defina
Usando a propriedade do logaritmo
, obtemos
Explicando devagar:
é a função que transforma multiplicação em soma e potências em multiplicação pela potência; como
,
está bem definido para todo
.
Passo 3
Agora estudamos o limite de
quando
. É útil passar para uma função real e usar um resultado padrão: considere a função real
Queremos
. Note que tanto
quanto
, portanto a expressão é uma indeterminação do tipo
. Aplicando a Regra de L’Hôpital (condições satisfeitas: numerador e denominador diferenciáveis e tendem a infinito), diferenciamos numerador e denominador:
- derivada do numerador
é ; - derivada do denominador
é .
Pelo L’Hôpital,
Como
(ou seja,
é a amostragem da função
nos inteiros), segue que
Comentário intuitivo (sem cálculo):
cresce muito mais devagar que
, por isso a razão
tende a zero.
Passo 4
Voltando para
: temos
porque
. Usamos agora a continuidade da função exponencial: se
então
. Como do passo anterior
, segue
Portanto a sequência converge e o limite é
.
Passo 5
Observações extras (úteis para prova ou intuição):
- Para
tem-se . Para tem-se mas a sequência se aproxima de quando cresce. - Alternativa sem L’Hôpital: pode-se comparar ordens de crescimento (polinomial cresce muito mais rápido que logarítmico) ou usar estimativas elementares para mostrar
. Ambas as abordagens levam à mesma conclusão.
Resposta
A sequência converge e
.