Escreva um programa que use o método da eliminação gaussiana (triangularização e substituição regressiva) para resolver o sistema de equações lineares \left\{\begin{array}{rl}7 x_{1}+2 x_{2}-5 x_{3} & =-18 \\\ x_{1}+5 x_{2}-3 x_{3} & =-40 \\\\ 2 x_{1}-x_{2}-9 x_{3} & =-26\end{array}\right..
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva o sistema linear
usando o método da eliminação gaussiana (triangularização seguida de substituição regressiva). Informações dadas: os três coeficientes de cada equação e os termos independentes estão explicitados acima. Queremos encontrar os valores de x_{1}, x_{2} e x_{3}.]
Passo 2
O que é eliminação gaussiana (em termos práticos)? A ideia é transformar o sistema original em um sistema equivalente em forma triangular (matriz triangular superior), ou seja, que tenha a forma
para que possamos resolver primeiro a última equação (única incógnita), depois usar esse valor para determinar a incógnita anterior, e assim por diante (substituição regressiva). Para fazer isso usamos operações elementares sobre as linhas: multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar um múltiplo de uma linha a outra, ou trocar linhas. Cada operação mantém o sistema equivalente.
Passo 3
Escrevemos o sistema na forma de matriz aumentada (colocando os termos independentes à direita):
Para simplificar os cálculos, podemos multiplicar as linhas 2 e 3 por 7 (isso corresponde a multiplicar a equação inteira por 7, operação válida que preserva soluções). Fazendo isso obtemos uma matriz equivalente com coeficientes inteiros:
Segundo pivô: 33 (entrada (2,2)). Eliminamos a entrada abaixo dele na coluna 2.
Multiplicador para zerar entrada (3,2): m_{32}=\dfrac{-11}{33}=-\dfrac{1}{3}.
Aplicamos L_{3}\leftarrow L_{3}-m_{32}L_{2}. Como m_{32}=-\dfrac{1}{3}, isso é L_{3}\leftarrow L_{3}+ \dfrac{1}{3}L_{2}. Calculemos:
Agora a matriz está triangular superior: podemos fazer substituição regressiva.]
Passo 7
Substituição regressiva — primeiro encontro x_{3} na última equação:
A última linha diz -175x_{3}=-700. Então
x_{3}=\dfrac{-700}{-175}=4.
Passo 8
Agora usamos o valor de x_{3} na segunda equação para encontrar x_{2}. A segunda linha (antes de multiplicarmos por 7) era 33x_{2}-16x_{3}=-262. Substituindo x_{3}=4:
Calcule -16\cdot 4=-64.
Temos 33x_{2}-64=-262.
Então 33x_{2}=-262+64=-198.
Logo x_{2}=\dfrac{-198}{33}=-6.
Passo 9
Finalmente, usamos x_{2} e x_{3} na primeira equação para encontrar x_{1}. A primeira equação é 7x_{1}+2x_{2}-5x_{3}=-18. Substituindo x_{2}=-6 e x_{3}=4:
2x_{2}=2\cdot(-6)=-12.
-5x_{3}=-5\cdot 4=-20.
Então 7x_{1}-12-20=-18, isto é 7x_{1}-32=-18.
Logo 7x_{1}=14 e x_{1}=2.
Conferindo mentalmente: com (x_{1},x_{2},x_{3})=(2,-6,4) cada equação é satisfeita (pode verificar se quiser).
Passo 10
(Mais prático: um pequeno programa em Python que implementa eliminação gaussiana simples — sem pivotação — e resolve o mesmo sistema. Comentários explicam os passos.)
# resolve sistema Ax = b por eliminação gaussiana (triangularização + substituição)defgaussian_elimination(A, b):
n = len(A)
# construir matriz aumentada
M = [row[:] + [b_i] for row, b_i inzip(A, b)]
# triangularizaçãofor k inrange(n):
pivot = M[k][k]
ifabs(pivot) < 1e-12:
raise ValueError("Pivot muito pequeno (necessária pivotação).")
for i inrange(k+1, n):
m = M[i][k] / pivot
for j inrange(k, n+1):
M[i][j] -= m * M[k][j]
# substituição regressiva
x = [0]*n
for i inrange(n-1, -1, -1):
s = M[i][n]
for j inrange(i+1, n):
s -= M[i][j]*x[j]
x[i] = s / M[i][i]
return x
# sistema do enunciado
A = [[7,2,-5],[1,5,-3],[2,-1,-9]]
b = [-18,-40,-26]
sol = gaussian_elimination(A, b)
print(sol) # saída esperada: [2, -6, 4]