Escreva um programa que use o método da eliminação gaussiana (triangularização e substituição regressiva) para resolver o sistema de equações lineares
\left\{\begin{array}{rl}7 x_{1}+2 x_{2}-5 x_{3} & =-18 \\\ x_{1}+5 x_{2}-3 x_{3} & =-40 \\\\ 2 x_{1}-x_{2}-9 x_{3} & =-26\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva o sistema linear
\begin{cases} 7x_{1}+2x_{2}-5x_{3}=-18\\[4pt] x_{1}+5x_{2}-3x_{3}=-40\\[4pt] 2x_{1}-x_{2}-9x_{3}=-26 \end{cases}
usando o método da eliminação gaussiana (triangularização seguida de substituição regressiva). Informações dadas: os três coeficientes de cada equação e os termos independentes estão explicitados acima. Queremos encontrar os valores de x_{1}, x_{2} e x_{3}.]

Passo 2

O que é eliminação gaussiana (em termos práticos)? A ideia é transformar o sistema original em um sistema equivalente em forma triangular (matriz triangular superior), ou seja, que tenha a forma
\begin{pmatrix} * & * & *\\\\ 0 & * & *\\\\ 0 & 0 & * \end{pmatrix}
para que possamos resolver primeiro a última equação (única incógnita), depois usar esse valor para determinar a incógnita anterior, e assim por diante (substituição regressiva). Para fazer isso usamos operações elementares sobre as linhas: multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar um múltiplo de uma linha a outra, ou trocar linhas. Cada operação mantém o sistema equivalente.

Passo 3

Escrevemos o sistema na forma de matriz aumentada (colocando os termos independentes à direita):
\left[\begin{array}{ccc|c} 7 & 2 & -5 & -18\\[4pt] 1 & 5 & -3 & -40\\[4pt] 2 & -1 & -9 & -26 \end{array}\right]
Vou triangularizar eliminando, coluna a coluna, as entradas abaixo do pivô.]

Passo 4

Primeiro pivô: 7 (entrada (1,1)). Eliminamos as entradas abaixo dele na coluna 1.
Multiplicador para zerar entrada a_{21}: m_{21}=\dfrac{1}{7}.
Aplicamos L_{2}\leftarrow L_{2}-m_{21}L_{1}. Calculemos cada elemento de L_{2}:
  • Nova entrada (2,1): 1-\dfrac{1}{7}\cdot 7=0.
  • Nova entrada (2,2): 5-\dfrac{1}{7}\cdot 2=5-\dfrac{2}{7}=\dfrac{35-2}{7}=\dfrac{33}{7}.
  • Nova entrada (2,3): -3-\dfrac{1}{7}\cdot(-5)=-3+\dfrac{5}{7}=-\dfrac{21-5}{7}=-\dfrac{16}{7}.
  • Novo termo independente: -40-\dfrac{1}{7}\cdot(-18)=-40+\dfrac{18}{7}=-\dfrac{280-18}{7}=-\dfrac{262}{7}.
Multiplicador para zerar entrada a_{31}: m_{31}=\dfrac{2}{7}.
Aplicamos L_{3}\leftarrow L_{3}-m_{31}L_{1}. Calculemos cada elemento de L_{3}:
  • Nova entrada (3,1): 2-\dfrac{2}{7}\cdot 7=0.
  • Nova entrada (3,2): -1-\dfrac{2}{7}\cdot 2=-1-\dfrac{4}{7}=-\dfrac{7+4}{7}=-\dfrac{11}{7}.
  • Nova entrada (3,3): -9-\dfrac{2}{7}\cdot(-5)=-9+\dfrac{10}{7}=-\dfrac{63-10}{7}=-\dfrac{53}{7}.
  • Novo termo independente: -26-\dfrac{2}{7}\cdot(-18)=-26+\dfrac{36}{7}=-\dfrac{182-36}{7}=-\dfrac{146}{7}.
Então a matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 7 & 2 & -5 & -18\\[4pt] 0 & \dfrac{33}{7} & -\dfrac{16}{7} & -\dfrac{262}{7}\\[6pt] 0 & -\dfrac{11}{7} & -\dfrac{53}{7} & -\dfrac{146}{7} \end{array}\right].]

Passo 5

Para simplificar os cálculos, podemos multiplicar as linhas 2 e 3 por 7 (isso corresponde a multiplicar a equação inteira por 7, operação válida que preserva soluções). Fazendo isso obtemos uma matriz equivalente com coeficientes inteiros:
\left[\begin{array}{ccc|c} 7 & 2 & -5 & -18\\[4pt] 0 & 33 & -16 & -262\\[4pt] 0 & -11 & -53 & -146 \end{array}\right].]

Passo 6

Segundo pivô: 33 (entrada (2,2)). Eliminamos a entrada abaixo dele na coluna 2.
Multiplicador para zerar entrada (3,2): m_{32}=\dfrac{-11}{33}=-\dfrac{1}{3}.
Aplicamos L_{3}\leftarrow L_{3}-m_{32}L_{2}. Como m_{32}=-\dfrac{1}{3}, isso é L_{3}\leftarrow L_{3}+ \dfrac{1}{3}L_{2}. Calculemos:
  • Nova entrada (3,2): -11 - m_{32}\cdot 33 = -11 -\big(-\tfrac{1}{3}\big)\cdot 33 = -11 +11 = 0.
  • Nova entrada (3,3): -53 - m_{32}\cdot(-16) = -53 -\big(-\tfrac{1}{3}\big)\cdot(-16) = -53 -\tfrac{16}{3} = -\dfrac{159+16}{3} = -\dfrac{175}{3}.
  • Novo termo independente: -146 - m_{32}\cdot(-262) = -146 -\big(-\tfrac{1}{3}\big)\cdot(-262) = -146 -\tfrac{262}{3} = -\dfrac{438+262}{3} = -\dfrac{700}{3}.
A matriz triangular superior resultante é
\left[\begin{array}{ccc|c} 7 & 2 & -5 & -18\\[4pt] 0 & 33 & -16 & -262\\[6pt] 0 & 0 & -\dfrac{175}{3} & -\dfrac{700}{3} \end{array}\right].
Se preferir trabalhar com inteiros, multiplico a terceira linha por 3 (equivalente a multiplicar a equação por 3):
\left[\begin{array}{ccc|c} 7 & 2 & -5 & -18\\[4pt] 0 & 33 & -16 & -262\\[4pt] 0 & 0 & -175 & -700 \end{array}\right].
Agora a matriz está triangular superior: podemos fazer substituição regressiva.]

Passo 7

Substituição regressiva — primeiro encontro x_{3} na última equação:
A última linha diz -175x_{3}=-700. Então
x_{3}=\dfrac{-700}{-175}=4.

Passo 8

Agora usamos o valor de x_{3} na segunda equação para encontrar x_{2}. A segunda linha (antes de multiplicarmos por 7) era 33x_{2}-16x_{3}=-262. Substituindo x_{3}=4:
  • Calcule -16\cdot 4=-64.
  • Temos 33x_{2}-64=-262.
  • Então 33x_{2}=-262+64=-198.
  • Logo x_{2}=\dfrac{-198}{33}=-6.

Passo 9

Finalmente, usamos x_{2} e x_{3} na primeira equação para encontrar x_{1}. A primeira equação é 7x_{1}+2x_{2}-5x_{3}=-18. Substituindo x_{2}=-6 e x_{3}=4:
  • 2x_{2}=2\cdot(-6)=-12.
  • -5x_{3}=-5\cdot 4=-20.
  • Então 7x_{1}-12-20=-18, isto é 7x_{1}-32=-18.
  • Logo 7x_{1}=14 e x_{1}=2.
Conferindo mentalmente: com (x_{1},x_{2},x_{3})=(2,-6,4) cada equação é satisfeita (pode verificar se quiser).

Passo 10

(Mais prático: um pequeno programa em Python que implementa eliminação gaussiana simples — sem pivotação — e resolve o mesmo sistema. Comentários explicam os passos.)
# resolve sistema Ax = b por eliminação gaussiana (triangularização + substituição)
def gaussian_elimination(A, b):
    n = len(A)
    # construir matriz aumentada
    M = [row[:] + [b_i] for row, b_i in zip(A, b)]
    # triangularização
    for k in range(n):
        pivot = M[k][k]
        if abs(pivot) < 1e-12:
            raise ValueError("Pivot muito pequeno (necessária pivotação).")
        for i in range(k+1, n):
            m = M[i][k] / pivot
            for j in range(k, n+1):
                M[i][j] -= m * M[k][j]
    # substituição regressiva
    x = [0]*n
    for i in range(n-1, -1, -1):
        s = M[i][n]
        for j in range(i+1, n):
            s -= M[i][j]*x[j]
        x[i] = s / M[i][i]
    return x

# sistema do enunciado
A = [[7,2,-5],[1,5,-3],[2,-1,-9]]
b = [-18,-40,-26]
sol = gaussian_elimination(A, b)
print(sol)  # saída esperada: [2, -6, 4]

Resposta

\,x_{1}=2
\,x_{2}=-6
\,x_{3}=4

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