Um objeto está suspenso em um túnel de vento e a força é medida para diversos níveis de velocidade do vento. Os resultados estão tabelados abaixo:
v, \mathrm{~m} / \mathrm{s} 10 20 30 40 50 60 70 80
F, \mathrm{~N} 25 70 380 550 610 1220 830 1450
Use a regressão por mínimos quadrados para relacionar esses dados com
um modelo de força com base em regressão não linear

Passo 1

O enunciado fornece pares de medições de velocidade e força e pede que eu use regressão por mínimos quadrados para ajustar um modelo de força por regressão não linear. Dados fornecidos (peguei diretamente da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccccc} v\;(\mathrm{m/s}) & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80\\hline F\;(\mathrm{N}) & 25 & 70 & 380 & 550 & 610 & 1220 & 830 & 1450 \end{array}
O que se pede: obter uma relação (modelo) entre v e F usando mínimos quadrados em um modelo não linear. Não há método imposto pelo enunciado, então vamos escolher um modelo físico comum e simples que costuma explicar forças aerodinâmicas: uma lei de potência.

Passo 2

Escolha do modelo e ideia de solução (aula curta)
  • Modelo escolhido: suposição de que a força segue uma lei de potência do tipo
F(v)=k\,v^{n},
onde k e n são parâmetros a estimar. Aqui v é a velocidade em \mathrm{m/s}, F é a força em \mathrm{N}, k é um coeficiente positivo e n é o expoente (se n\approx2 corresponderia ao arrasto quadrático típico).
  • Por que isso é “não linear”? Porque n aparece como expoente, então o modelo é não linear nos parâmetros. Mas existe um truque muito útil: aplicar logaritmo natural nos dois lados transforma o problema numa regressão linear:
\ln F = \ln k + n\,\ln v.
Definindo x=\ln v e y=\ln F, temos um modelo linear
y = a + n x,
com a=\ln k. Então podemos usar mínimos quadrados lineares para estimar a e n, e depois recuperar k=\mathrm{e}^{a}.
Vou mostrar passo a passo como aplicar isso aos dados.

Passo 3

Transformação dos dados (calculei \ln v e \ln F para cada par)
Peguei os dados da tabela e calculei os logs naturais. Aqui estão os valores usados (arredondados a 6 casas decimais):
\begin{array}{c|cccccccc} v & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80\\hline \ln v & 2{,}302585 & 2{,}995732 & 3{,}401197 & 3{,}688879 & 3{,}912023 & 4{,}094345 & 4{,}248495 & 4{,}382027\\hline F & 25 & 70 & 380 & 550 & 610 & 1220 & 830 & 1450\\hline \ln F & 3{,}218876 & 4{,}248495 & 5{,}940172 & 6{,}309918 & 6{,}413458 & 7{,}106214 & 6{,}721426 & 7{,}279000 \end{array}
Explicando: para cada linha, calculei x_i=\ln v_i e y_i=\ln F_i. Esses x_i e y_i serão usados na regressão linear.

Passo 4

Fórmulas dos mínimos quadrados lineares (aula curta)
Para ajustar y=a + n x por mínimos quadrados com N pontos, as fórmulas fechadas são:
n = \frac{N\sum x_i y_i - \left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right)}{N\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2},
a = \frac{1}{N}\left(\sum y_i - n\sum x_i\right).
Aqui N é o número de pares (x_i,y_i). Depois k=\mathrm{e}^{a}. Vou calcular as somas necessárias explicitamente com os números do passo anterior.

Passo 5

Cálculo das somas (executei as somas com os valores de \ln v e \ln F)
Com os x_i=\ln v_i e y_i=\ln F_i do Passo 3, calculei:
N=8,
\sum x_i = 29{,}025283,
\sum y_i = 47{,}237559,
\sum x_i^2 \approx 108{,}756197,
\sum x_i y_i \approx 178{,}252300.
(esses valores são somas dos números mostrados no Passo 3; mantive precisão suficiente para o ajuste e mostrei os resultados arredondados.)

Passo 6

Cálculo dos parâmetros n e a=\ln k
Uso as fórmulas do Passo 4:
Calculo do denominador comum:
D = N\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2 =8\cdot 108{,}756197 - (29{,}025283)^2 \approx 27{,}584323.
Calculo do numerador para n:
N\sum x_i y_i - \left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right) =8\cdot 178{,}252300 - 29{,}025283\cdot 47{,}237559 \approx 54{,}937023.
Logo
n \approx \frac{54{,}937023}{27{,}584323} \approx 1{,}992.
Agora a:
a = \frac{1}{N}\left(\sum y_i - n\sum x_i\right) \approx \frac{1}{8}\left(47{,}237559 - 1{,}992\cdot 29{,}025283\right) \approx -1{,}3215.
E finalmente
k = \mathrm{e}^{a} \approx \mathrm{e}^{-1{,}3215} \approx 0{,}268.

Passo 7

Interpretação e verificação rápida (dica prática para a prova)
  • O ajuste dá aproximadamente n\approx 1{,}992, ou seja, muito próximo de 2. Isso reforça a ideia física: para esse objeto, a força (arrasto) é essencialmente quadrática com a velocidade.
  • O coeficiente k\approx 0{,}268 (unidades tais que F em N e v em m/s).
  • Assim o modelo ajustado é, aproximadamente,
F(v)\approx 0{,}268\,v^{1{,}992}\approx 0{,}268\,v^{2}.
Na prova: para ajustar uma lei de potência use transformação logarítmica, aplique mínimos quadrados lineares nas variáveis transformadas, depois volte com exponencial para recuperar k. Sempre explique o que cada símbolo significa (aqui k é o prefator e n o expoente).

Resposta

F(v)=0{,}268\,v^{1{,}992}

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