Um objeto está suspenso em um túnel de vento e a força é medida para diversos níveis de velocidade do vento. Os resultados estão tabelados abaixo:
10
20
30
40
50
60
70
80
25
70
380
550
610
1220
830
1450
Use a regressão por mínimos quadrados para relacionar esses dados com
um modelo de força com base em regressão não linear
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10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
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25 | 70 | 380 | 550 | 610 | 1220 | 830 | 1450 |
um modelo de força com base em regressão não linear
Passo 1
O enunciado fornece pares de medições de velocidade e força e pede que eu use regressão por mínimos quadrados para ajustar um modelo de força por regressão não linear. Dados fornecidos (peguei diretamente da tabela do enunciado):
O que se pede: obter uma relação (modelo) entre
e
usando mínimos quadrados em um modelo não linear. Não há método imposto pelo enunciado, então vamos escolher um modelo físico comum e simples que costuma explicar forças aerodinâmicas: uma lei de potência.
Passo 2
Escolha do modelo e ideia de solução (aula curta)
- Modelo escolhido: suposição de que a força segue uma lei de potência do tipo
onde
e
são parâmetros a estimar. Aqui
é a velocidade em
,
é a força em
,
é um coeficiente positivo e
é o expoente (se
corresponderia ao arrasto quadrático típico).
- Por que isso é “não linear”? Porque
aparece como expoente, então o modelo é não linear nos parâmetros. Mas existe um truque muito útil: aplicar logaritmo natural nos dois lados transforma o problema numa regressão linear:
Definindo
e
, temos um modelo linear
com
. Então podemos usar mínimos quadrados lineares para estimar
e
, e depois recuperar
.
Vou mostrar passo a passo como aplicar isso aos dados.
Passo 3
Transformação dos dados (calculei
e
para cada par)
Peguei os dados da tabela e calculei os logs naturais. Aqui estão os valores usados (arredondados a 6 casas decimais):
Explicando: para cada linha, calculei
e
. Esses
e
serão usados na regressão linear.
Passo 4
Fórmulas dos mínimos quadrados lineares (aula curta)
Para ajustar
por mínimos quadrados com
pontos, as fórmulas fechadas são:
Aqui
é o número de pares
. Depois
. Vou calcular as somas necessárias explicitamente com os números do passo anterior.
Passo 5
Cálculo das somas (executei as somas com os valores de
e
)
Com os
e
do Passo 3, calculei:
(esses valores são somas dos números mostrados no Passo 3; mantive precisão suficiente para o ajuste e mostrei os resultados arredondados.)
Passo 6
Cálculo dos parâmetros
e
Uso as fórmulas do Passo 4:
Calculo do denominador comum:
Calculo do numerador para
:
Logo
Agora
:
E finalmente
Passo 7
Interpretação e verificação rápida (dica prática para a prova)
- O ajuste dá aproximadamente
, ou seja, muito próximo de . Isso reforça a ideia física: para esse objeto, a força (arrasto) é essencialmente quadrática com a velocidade. - O coeficiente
(unidades tais que em N e em m/s). - Assim o modelo ajustado é, aproximadamente,
Na prova: para ajustar uma lei de potência use transformação logarítmica, aplique mínimos quadrados lineares nas variáveis transformadas, depois volte com exponencial para recuperar
. Sempre explique o que cada símbolo significa (aqui
é o prefator e
o expoente).