Um objeto está suspenso em um túnel de vento e a força é medida para diversos níveis de velocidade do vento. Os resultados estão tabelados abaixo:
v, \mathrm{~m} / \mathrm{s} 10 20 30 40 50 60 70 80
F, \mathrm{~N} 25 70 380 550 610 1220 830 1450
Use a regressão por mínimos quadrados para relacionar esses dados com
uma linha reta

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com várias medidas de velocidade do vento v (em \mathrm{m/s}) e a força F (em \mathrm{N}) correspondente, e pede para ajustar uma reta por mínimos quadrados a esses dados. As perguntas implícitas são: qual a equação da reta ajustada (coeficiente angular e coeficiente linear)?\n
Os pares de dados fornecidos são:
(10,25),\\ (20,70),\\ (30,380),\\ (40,550),\\ (50,610),\\ (60,1220),\\ (70,830),\\ (80,1450).
Aqui estão todas as informações relevantes do enunciado que vamos usar: os valores de \,v e \,F listados acima. A missão é obter uma reta \hat{F}(v)=b_0+b_1 v que melhor aproxime esses pontos em sentido de mínimos quadrados.

Passo 2

Breve explicação do método (passo-a-passo didático e intuitivo):
  • A ideia de mínimos quadrados é escolher os coeficientes b_0 (intercepto) e b_1 (inclinação) de modo que a soma dos quadrados dos resíduos \sum_{i=1}^{n}\big(F_i-(b_0+b_1 v_i)\big)^2 seja mínima.
  • As fórmulas fechadas resultantes (que usaremos) são:
b_1=\frac{n\sum v_iF_i - \big(\sum v_i\big)\big(\sum F_i\big)}{n\sum v_i^2 - \big(\sum v_i\big)^2},
b_0=\bar{F}-b_1\bar{v},
onde
\bar{v}=\frac{1}{n}\sum v_i,\qquad \bar{F}=\frac{1}{n}\sum F_i.
  • Aqui n é o número de pares de dados, v_i são as velocidades, F_i são as forças medidas. Vou calcular explicitamente cada soma necessária para aplicar essas fórmulas.

Passo 3

Calcular n e as somas necessárias (mostrando contas):
  • Número de pontos:
n=8.
  • Soma das v_i:
\sum v_i = 10+20+30+40+50+60+70+80 = 360.
  • Soma dos F_i:
\sum F_i = 25+70+380+550+610+1220+830+1450 = 5135.
  • Soma dos quadrados \sum v_i^2:
\sum v_i^2 = 10^2+20^2+30^2+40^2+50^2+60^2+70^2+80^2 = 20400.
(Detalhe dos termos: 100+400+900+1600+2500+3600+4900+6400=20400.)
  • Soma dos produtos \sum v_iF_i:
\sum v_iF_i = 10\cdot25 + 20\cdot70 + 30\cdot380 + 40\cdot550 + 50\cdot610 + 60\cdot1220 + 70\cdot830 + 80\cdot1450 = 312850.
(Detalhe dos termos: 250+1400+11400+22000+30500+73200+58100+116000=312850.)

Passo 4

Calcular o coeficiente angular b_1 usando as somas:
  • Primeiro o numerador:
n\sum v_iF_i - (\sum v_i)(\sum F_i) = 8\cdot312850 - 360\cdot5135 = 2502800 - 1848600 = 654200.
  • Depois o denominador:
n\sum v_i^2 - (\sum v_i)^2 = 8\cdot20400 - 360^2 = 163200 - 129600 = 33600.
  • Portanto
b_1 = \frac{654200}{33600} = \frac{3271}{168}\approx 19{,}470238.
Explicação prática: b_1 é a inclinação da reta, ou seja, quantos newtons a força aumenta, em média, quando a velocidade aumenta 1 \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular a média \bar{v} e \bar{F} e depois o intercepto b_0:
  • Médias:
\bar{v}=\frac{\sum v_i}{n}=\frac{360}{8}=45,
\bar{F}=\frac{\sum F_i}{n}=\frac{5135}{8}=641{,}875.
  • Intercepto:
b_0=\bar{F}-b_1\bar{v}=641{,}875 - \frac{3271}{168}\cdot 45.
Calculei exatamente:
\frac{3271}{168}\cdot 45=\frac{147195}{168}=\frac{49065}{56},
\bar{F}=\frac{35945}{56},
b_0=\frac{35945}{56}-\frac{49065}{56}=-\frac{13120}{56}=-\frac{1640}{7}\approx -234{,}285714.
Interpretação: b_0 é o valor da reta quando v=0. Aqui ficou negativo (o que pode ocorrer em ajustes lineares quando a reta extrapola fora do intervalo de dados); em aplicações físicas isso indica que a linearidade pode não valer para v muito baixos, mas na faixa de dados a reta serve como aproximação.

Passo 6

Escrever a equação final da reta ajustada e comentar rapidamente como usar:
  • A reta por mínimos quadrados encontrada é
\hat{F}(v)=b_0+b_1 v = -\frac{1640}{7} + \frac{3271}{168}\,v \approx -234{,}285714 + 19{,}470238\,v.
  • Para prever a força pra uma velocidade v dentro da faixa dos dados, basta substituir v na expressão acima. Lembre-se de que extrapolações para v muito fora da faixa (por exemplo v\ll 10 ou v\gg 80) podem ser pouco confiáveis.

Resposta

\hat{F}(v)=-\frac{1640}{7}+\frac{3271}{168}\,v\approx -234{,}285714+19{,}470238\,v

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