Um objeto está suspenso em um túnel de vento e a força é medida para diversos níveis de velocidade do vento. Os resultados estão tabelados abaixo:
10
20
30
40
50
60
70
80
25
70
380
550
610
1220
830
1450
Use a regressão por mínimos quadrados para relacionar esses dados com
uma linha reta
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10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
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25 | 70 | 380 | 550 | 610 | 1220 | 830 | 1450 |
uma linha reta
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com várias medidas de velocidade do vento
(em
) e a força
(em
) correspondente, e pede para ajustar uma reta por mínimos quadrados a esses dados. As perguntas implícitas são: qual a equação da reta ajustada (coeficiente angular e coeficiente linear)?\n
Os pares de dados fornecidos são:
Os pares de dados fornecidos são:
Aqui estão todas as informações relevantes do enunciado que vamos usar: os valores de
e
listados acima. A missão é obter uma reta
que melhor aproxime esses pontos em sentido de mínimos quadrados.
Passo 2
Breve explicação do método (passo-a-passo didático e intuitivo):
- A ideia de mínimos quadrados é escolher os coeficientes
(intercepto) e (inclinação) de modo que a soma dos quadrados dos resíduos seja mínima. - As fórmulas fechadas resultantes (que usaremos) são:
onde
- Aqui
é o número de pares de dados, são as velocidades, são as forças medidas. Vou calcular explicitamente cada soma necessária para aplicar essas fórmulas.
Passo 3
Calcular
e as somas necessárias (mostrando contas):
- Número de pontos:
- Soma das
:
- Soma dos
:
- Soma dos quadrados
:
(Detalhe dos termos:
.)
- Soma dos produtos
:
(Detalhe dos termos:
.)
Passo 4
Calcular o coeficiente angular
usando as somas:
- Primeiro o numerador:
- Depois o denominador:
- Portanto
Explicação prática:
é a inclinação da reta, ou seja, quantos newtons a força aumenta, em média, quando a velocidade aumenta 1
.
Passo 5
Calcular a média
e
e depois o intercepto
:
- Médias:
- Intercepto:
Calculei exatamente:
Interpretação:
é o valor da reta quando
. Aqui ficou negativo (o que pode ocorrer em ajustes lineares quando a reta extrapola fora do intervalo de dados); em aplicações físicas isso indica que a linearidade pode não valer para
muito baixos, mas na faixa de dados a reta serve como aproximação.
Passo 6
Escrever a equação final da reta ajustada e comentar rapidamente como usar:
- A reta por mínimos quadrados encontrada é
- Para prever a força pra uma velocidade
dentro da faixa dos dados, basta substituir na expressão acima. Lembre-se de que extrapolações para muito fora da faixa (por exemplo ou ) podem ser pouco confiáveis.