Escreva as seguintes expressões sem utilizar sinais do valor absoluto, separando em dois ou mais casos quando for necessário (veja o modelo abaixo):
a)

Passo 1

O enunciado pede para escrever sem valores absolutos a expressão
l|lvert xrvert - 1r|
Isso envolve duas “camadas” de valor absoluto: primeiro em lvert xrvert e depois em l|cdotr|. Para eliminá-las, precisamos estudar em quais intervalos as expressões internas mudam de sinal.

Passo 2

Analisamos primeiro lvert xrvert.
  • Se x>=0, então lvert xrvert = x.
  • Se x<0, então lvert xrvert = -x.

Passo 3

Em seguida, consideramos o sinal de lvert xrvert - 1.
  • Se lvert xrvert - 1>=0, então l|lvert xrvert - 1r| = lvert xrvert - 1.
  • Se lvert xrvert - 1<0, então l|lvert xrvert - 1r| = -l(lvert xrvert - 1r)=1-lvert xrvert.
A condição lvert xrvert >=1 corresponde a x<= -1 ou x>=1, e lvert xrvert<1 corresponde a -1<x<1. Juntando com o sinal de x, obtemos quatro intervalos em que a fórmula se simplifica sem nenhum valor absoluto.

Passo 4

  1. Para x< -1:
    lvert xrvert = -x e lvert xrvert >=1, logo
    l|lvert xrvert -1r| =lvert xrvert -1 =(-x)-1 =-x-1
  2. Para -1<= x<0:
    lvert xrvert = -x e lvert xrvert<1, logo
    l|lvert xrvert -1r| =1-lvert xrvert =1-(-x) =x+1
  3. Para 0<= x<1:
    lvert xrvert = x e lvert xrvert<1, logo
    l|lvert xrvert -1r| =1-lvert xrvert =1-x =-x+1
  4. Para x>=1:
    lvert xrvert = x e lvert xrvert>=1, logo
    l|lvert xrvert -1r| =lvert xrvert -1 =x-1

Resposta

l|lvert xrvert -1r| = -x-1, & x< -1, x+1, & -1<= x<0, -x+1, & 0<= x<1, x-1, & x>=1

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