Escreva as seguintes funções como funções por partes:
|cos (2 x)|

Passo 1

O enunciado pede para escrever lvertcos(2x)rvert como uma função por partes, ou seja, identificar em que intervalos cos(2x) é não-negativo e em que intervalos é não-positivo e então usar
lvertcos(2x)rvert = cos(2x), & cos(2x)>=0, -cos(2x), & cos(2x)<=0

Passo 2

Para achar os pontos onde cos(2x)=0, resolvemos
cos(2x)=0 Longrightarrow 2x = (2k+1)pi2,
ou seja
x = (2k+1)pi4, kinZ

Passo 3

Entre dois zeros consecutivos xk=tfrac(2k+1)pi4 e xk+1, o sinal de cos(2x) é constante. Em particular, num período de comprimento pi (por exemplo de kpi a (k+1)pi) temos zeros em
kpi+pi4 e kpi+3pi4,
e
  • em l[kpi,;kpi+tfracpi4r] e em l[kpi+tfrac3pi4,;(k+1)pir] vale cos(2x)>=0,
  • em l[kpi+tfracpi4,;kpi+tfrac3pi4r] vale cos(2x)<=0.

Passo 4

Logo, para todo kinZ podemos definir
lvertcos(2x)rvert = cos(2x)&xin[kpi,;kpi+tfracpi4]cup[kpi+tfrac3pi4,;(k+1)pi], -cos(2x)&xin[kpi+tfracpi4,;kpi+tfrac3pi4]

Resposta

lvertcos(2x)rvert = cos(2x)&xin[kpi,;kpi+tfracpi4]cup[kpi+tfrac3pi4,;(k+1)pi] -cos(2x)&xin[kpi+tfracpi4,;kpi+tfrac3pi4] kinZ

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