Escreva as seguintes identidades em notação indicial
\nabla(\mathbf{a} \cdot \mathbf{r})=\mathbf{a}

Passo 1

O enunciado pede para escrever em notação indicial a identidade
\nabla(\mathbf{a}\cdot\mathbf{r})=\mathbf{a}.
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
  • \mathbf{a} é um vetor constante (não depende da posição).
  • \mathbf{r} é o vetor posição, cujas componentes cartesianas são as coordenadas espaciais.
    O que devo entregar: a mesma igualdade, escrita usando índices (notação indicial), e uma explicação passo a passo de como chegar nela.

Passo 2

Relembrando a notação indicial e convenções que usarei:
  • As componentes dos vetores serão a_i\) para \(\mathbf{a}\) e \(r_i\) para \(\mathbf{r}\). - No sistema cartesiano, \(r_i\) é simplesmente a coordenada \(x_i\) (ou seja, \(r_i=x_i\)). - A derivada parcial em notação indicial é \(\partial_i\), definida por \[\partial_i \equiv \frac{\partial}{\partial x_i}.
  • Usarei a convenção de soma de Einstein: um índice repetido (um acima e um abaixo, ou ambos em posição semelhante aqui no contexto euclidiano) indica soma sobre i=1,2,3. Ex.: a_j r_j = \sum_{j=1}^{3} a_j r_j.
  • O delta de Kronecker \delta_{ij} é definido por
\delta_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{se } i=j,\\[4pt] 0, & \text{se } i\neq j. \end{cases}
Ele age como o “1” da multiplicação de índices: (b_j\delta_{ji}=b_i].]

Passo 3

Escrevendo o produto escalar \mathbf{a}\cdot\mathbf{r} em notação indicial:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{r}=a_j r_j.

Passo 4

Aplicando o operador gradiente (com componente i) ao escalar a_j r_j:
\nabla_i(\mathbf{a}\cdot\mathbf{r})=\partial_i(a_j r_j).
Como \mathbf{a} é constante no espaço, suas componentes a_j são independentes de x_i, então podem ser colocadas fora da derivada parcial:
\partial_i(a_j r_j)=a_j\,\partial_i r_j.

Passo 5

Usando que r_j=x_j, tem-se
\partial_i r_j = \partial_i x_j = \frac{\partial x_j}{\partial x_i} = \delta_{ij}.
Portanto
a_j\,\partial_i r_j = a_j\,\delta_{ij}.

Passo 6

Contraindo com o delta de Kronecker substitui o índice j por i:
a_j\,\delta_{ij}=a_i.
Assim obtém-se, em notação indicial,
\nabla_i(a_j r_j)=a_i,
o que é exatamente a forma componente da identidade vetorial \nabla(\mathbf{a}\cdot\mathbf{r})=\mathbf{a}.

Resposta

\nabla_i(a_j r_j)=a_i

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