Escreva as seguintes identidades em notação indicial
Passo 1
O enunciado pede para escrever em notação indicial a identidade
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
-
é um vetor constante (não depende da posição). -
é o vetor posição, cujas componentes cartesianas são as coordenadas espaciais.
O que devo entregar: a mesma igualdade, escrita usando índices (notação indicial), e uma explicação passo a passo de como chegar nela.
Passo 2
Relembrando a notação indicial e convenções que usarei:
- As componentes dos vetores serão
- Usarei a convenção de soma de Einstein: um índice repetido (um acima e um abaixo, ou ambos em posição semelhante aqui no contexto euclidiano) indica soma sobre
. Ex.: . - O delta de Kronecker
é definido por
Ele age como o “1” da multiplicação de índices: (b_j\delta_{ji}=b_i].]
Passo 3
Escrevendo o produto escalar
em notação indicial:
Passo 4
Aplicando o operador gradiente (com componente
) ao escalar
:
Como
é constante no espaço, suas componentes
são independentes de
, então podem ser colocadas fora da derivada parcial:
Passo 5
Usando que
, tem-se
Portanto
Passo 6
Contraindo com o delta de Kronecker substitui o índice
por
:
Assim obtém-se, em notação indicial,
o que é exatamente a forma componente da identidade vetorial
.