Use a identidade
para simplificar:
;
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o valor escalar de
onde
é o símbolo totalmente antissimétrico de Levi-Civita em três dimensões. As informações importantes dadas:
- Índices repetidos (
) indicam soma de a (convenção de Einstein). - O objetivo é simplificar essa soma e encontrar um número (escalares resultante).
Passo 2
Lembrete rápido sobre o símbolo de Levi-Civita
:
-
se for uma permutação par de . -
se for uma permutação ímpar de . -
se algum dos índices se repetir (isto é, se ou ou ).
Também lembre que índices repetidos significam soma: por exemplo
Passo 3
Observação sobre permutações e renomeação de índices dummy:
- O triplo
é uma permutação cíclica de . Uma 3-ciclo é um produto de duas transposições, portanto tem paridade par. Logo a permutação que leva em é par, e portanto
- Além disso,
são índices de soma (dummies), então podemos renomear livremente os índices de uma das cópias do símbolo sem alterar o valor da soma. Usando a igualdade anterior, podemos reescrever o produto como
Passo 4
Calcular
:
Agora,
vale
quando
são todos distintos (pois então
), e vale
quando algum par se repete. Quantos tripletos distintos
existem com
todos diferentes? São todas as permutações de
, ou seja
. Portanto a soma é simplesmente
Passo 5
(Verificação alternativa, útil para prova)
Existe a identidade de contracção
Existe a identidade de contracção
onde
é o delta de Kronecker. Tomando
e somando sobre
obtemos
confirmando o resultado anterior.