Use a identidade \epsilon-\delta para simplificar:
\epsilon_{i j k} \epsilon_{j k i};

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor escalar de
\epsilon_{i j k}\,\epsilon_{j k i},
onde \epsilon_{abc} é o símbolo totalmente antissimétrico de Levi-Civita em três dimensões. As informações importantes dadas:
  • Índices repetidos ( i,j,k) indicam soma de 1 a 3 (convenção de Einstein).
  • O objetivo é simplificar essa soma e encontrar um número (escalares resultante).

Passo 2

Lembrete rápido sobre o símbolo de Levi-Civita \epsilon_{abc}:
  • \epsilon_{abc}=+1 se (a,b,c) for uma permutação par de (1,2,3).
  • \epsilon_{abc}=-1 se (a,b,c) for uma permutação ímpar de (1,2,3).
  • \epsilon_{abc}=0 se algum dos índices se repetir (isto é, se a=b ou b=c ou a=c).
    Também lembre que índices repetidos significam soma: por exemplo
\epsilon_{i j k}\,\epsilon_{j k i}=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3 \epsilon_{i j k}\,\epsilon_{j k i}.

Passo 3

Observação sobre permutações e renomeação de índices dummy:
  • O triplo (j,k,i) é uma permutação cíclica de (i,j,k). Uma 3-ciclo é um produto de duas transposições, portanto tem paridade par. Logo a permutação que leva (i,j,k) em (j,k,i) é par, e portanto
\epsilon_{j k i}=\epsilon_{i j k}.
  • Além disso, i,j,k são índices de soma (dummies), então podemos renomear livremente os índices de uma das cópias do símbolo sem alterar o valor da soma. Usando a igualdade anterior, podemos reescrever o produto como
\epsilon_{i j k}\,\epsilon_{j k i}=\epsilon_{i j k}\,\epsilon_{i j k}.

Passo 4

Calcular \epsilon_{i j k}\,\epsilon_{i j k}:
\epsilon_{i j k}\,\epsilon_{i j k}=\sum_{i,j,k} (\epsilon_{i j k})^2.
Agora, (\epsilon_{i j k})^2 vale 1 quando i,j,k são todos distintos (pois então \epsilon_{i j k}=\pm1), e vale 0 quando algum par se repete. Quantos tripletos distintos (i,j,k) existem com i,j,k todos diferentes? São todas as permutações de (1,2,3), ou seja 3!=6. Portanto a soma é simplesmente
\sum_{i,j,k} (\epsilon_{i j k})^2 = 6.

Passo 5

(Verificação alternativa, útil para prova)
Existe a identidade de contracção
\epsilon_{i j k}\,\epsilon_{\ell j k}=2\,\delta_{i\ell},
onde \delta_{i\ell} é o delta de Kronecker. Tomando \ell=i e somando sobre i obtemos
\epsilon_{i j k}\,\epsilon_{i j k}=2\,\delta_{ii}=2\cdot 3=6,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

6

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