Use métodos de tensores para mostrar as seguintes identidades vetoriais:
.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar, usando métodos de tensores (notação indexada), a identidade
Informações fornecidas implicitamente:
e
são campos vetoriais suaves;
é o operador gradiente com componentes parciais
. Não se pede um método geométrico, pede-se uso de tensores (índices,
,
, convenção de soma de Einstein).
Passo 2
Definições e notação que vamos usar (tudo explicado passo a passo).
- Convenção de soma de Einstein: índices repetidos, um subscrito e um sobrescrito ou ambos subscritos, significam soma sobre
. Ex.: . - Símbolo de Levi-Civita:
é a função totalmente anti-simétrica com . - Símbolo de Kronecker:
é a identidade: se , e caso contrário. - Expressões indexadas das operações vetoriais:
- Produto vetorial:
. - Rotacional (curl):
. - Produto escalar com operador derivada:
tem componentes . - Divergência:
.
Expliquei o que cada símbolo significa para garantir que dá pra seguir a manipulação indexada.
- Produto vetorial:
Passo 3
Escrever o membro esquerdo em notação indexada e substituir a definição do produto vetorial.
Começamos com
Começamos com
Usando
obtemos
Passo 4
Aplicar a identidade de contração entre dois tensores
(produto de duas Levi-Civita) para eliminar um
.
A identidade padrão é
A identidade padrão é
(Isto pode ser verificado expandindo para valores ou usando a propriedade determinantal da
.) Usando essa identidade na expressão do Passo 3 (note o índice
repetido que é somado) obtemos
Passo 5
Aplicar os deltas e expandir a derivada do produto.
Primeiro, usar os para renomear índices:
Primeiro, usar os
Agora expandir cada derivada do produto com a regra da derivada do produto:
Substituindo essas expressões na anterior:
Passo 6
Reescrever cada termo em notação vetorial e interpretar.
Agrupando termos:
Agrupando termos:
Agora reconhecemos as correspondências:
-
é a componente de . -
é a componente de . -
é a componente de . -
é a componente de .
Portanto, em forma vetorial:
Resposta
\nabla\times(\mathrm{u}\times\mathrm{v})=(\mathrm{v}\cdot\nabla)\mathrm{u}-(\mathrm{u}\cdot\nabla)\mathrm{v}+\mathrm{u},\nabla\cdot\mathrm{v}-\mathrm{v},\nabla\cdot\mathrm{u}