Use métodos de tensores para mostrar as seguintes identidades vetoriais:
\nabla \times(\mathrm{u} \times \mathrm{v})=(\mathrm{v} \cdot \nabla) \mathrm{u}-(\mathrm{u} \cdot \nabla) \mathrm{v}+\mathrm{u} \nabla \cdot \mathrm{v}- \nu \nabla \cdot \mathrm{u}.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar, usando métodos de tensores (notação indexada), a identidade
\nabla\times(\mathrm{u}\times\mathrm{v})=(\mathrm{v}\cdot\nabla)\mathrm{u}-(\mathrm{u}\cdot\nabla)\mathrm{v}+\mathrm{u}\,\nabla\cdot\mathrm{v}-\mathrm{v}\,\nabla\cdot\mathrm{u}.
Informações fornecidas implicitamente: \mathrm{u}=\mathrm{u}(\mathbf{x}) e \mathrm{v}=\mathrm{v}(\mathbf{x}) são campos vetoriais suaves; \nabla é o operador gradiente com componentes parciais \partial_i=\partial/\partial x_i. Não se pede um método geométrico, pede-se uso de tensores (índices, \epsilon_{ijk}, \delta_{ij}, convenção de soma de Einstein).

Passo 2

Definições e notação que vamos usar (tudo explicado passo a passo).
  • Convenção de soma de Einstein: índices repetidos, um subscrito e um sobrescrito ou ambos subscritos, significam soma sobre 1,2,3. Ex.: a_i b_i = \sum_{i=1}^3 a_i b_i.
  • Símbolo de Levi-Civita: \epsilon_{ijk} é a função totalmente anti-simétrica com \epsilon_{123}=+1.
  • Símbolo de Kronecker: \delta_{ij} é a identidade: \delta_{ij}=1 se i=j, e 0 caso contrário.
  • Expressões indexadas das operações vetoriais:
    • Produto vetorial: (\mathrm{a}\times\mathrm{b})_i=\epsilon_{ijk}\,a_j\,b_k.
    • Rotacional (curl): (\nabla\times \mathrm{F})_i=\epsilon_{ijk}\,\partial_j F_k.
    • Produto escalar com operador derivada: (\mathrm{v}\cdot\nabla)\mathrm{u} tem componentes (\mathrm{v}\cdot\nabla)\mathrm{u}_i = v_j\,\partial_j u_i.
    • Divergência: (\nabla\cdot\mathrm{u})=\partial_i u_i.
      Expliquei o que cada símbolo significa para garantir que dá pra seguir a manipulação indexada.

Passo 3

Escrever o membro esquerdo em notação indexada e substituir a definição do produto vetorial.
Começamos com
(\nabla\times(\mathrm{u}\times\mathrm{v}))_i=\epsilon_{ijk}\,\partial_j(\mathrm{u}\times\mathrm{v})_k.
Usando (\mathrm{u}\times\mathrm{v})_k=\epsilon_{klm}\,u_l\,v_m obtemos
(\nabla\times(\mathrm{u}\times\mathrm{v}))_i=\epsilon_{ijk}\,\partial_j\big(\epsilon_{klm}\,u_l\,v_m\big).

Passo 4

Aplicar a identidade de contração entre dois tensores \epsilon (produto de duas Levi-Civita) para eliminar um \epsilon.
A identidade padrão é
\epsilon_{ijk}\,\epsilon_{klm}=\delta_{il}\,\delta_{jm}-\delta_{im}\,\delta_{jl}.
(Isto pode ser verificado expandindo para valores ou usando a propriedade determinantal da \epsilon.) Usando essa identidade na expressão do Passo 3 (note o índice k repetido que é somado) obtemos
(\nabla\times(\mathrm{u}\times\mathrm{v}))_i=(\delta_{il}\,\delta_{jm}-\delta_{im}\,\delta_{jl})\,\partial_j(u_l\,v_m).

Passo 5

Aplicar os deltas e expandir a derivada do produto.
Primeiro, usar os \delta para renomear índices:
(\nabla\times(\mathrm{u}\times\mathrm{v}))_i=\partial_j(u_i\,v_j)-\partial_j(u_j\,v_i).
Agora expandir cada derivada do produto com a regra da derivada do produto:
\partial_j(u_i\,v_j)=(\partial_j u_i)\,v_j + u_i\,(\partial_j v_j),
\partial_j(u_j\,v_i)=(\partial_j u_j)\,v_i + u_j\,(\partial_j v_i).
Substituindo essas expressões na anterior:
(\nabla\times(\mathrm{u}\times\mathrm{v}))_i = \big((\partial_j u_i)\,v_j + u_i\,(\partial_j v_j)\big) - \big((\partial_j u_j)\,v_i + u_j\,(\partial_j v_i)\big).

Passo 6

Reescrever cada termo em notação vetorial e interpretar.
Agrupando termos:
(\nabla\times(\mathrm{u}\times\mathrm{v}))_i = v_j\,\partial_j u_i - u_j\,\partial_j v_i + u_i\,\partial_j v_j - v_i\,\partial_j u_j.
Agora reconhecemos as correspondências:
  • v_j\,\partial_j u_i é a componente i de (\mathrm{v}\cdot\nabla)\mathrm{u}.
  • -u_j\,\partial_j v_i é a componente i de -(\mathrm{u}\cdot\nabla)\mathrm{v}.
  • u_i\,\partial_j v_j é a componente i de \mathrm{u}\,(\nabla\cdot\mathrm{v}).
  • -v_i\,\partial_j u_j é a componente i de -\mathrm{v}\,(\nabla\cdot\mathrm{u}).
Portanto, em forma vetorial:
\nabla\times(\mathrm{u}\times\mathrm{v})=(\mathrm{v}\cdot\nabla)\mathrm{u}-(\mathrm{u}\cdot\nabla)\mathrm{v}+\mathrm{u}\,\nabla\cdot\mathrm{v}-\mathrm{v}\,\nabla\cdot\mathrm{u}.

Resposta

\nabla\times(\mathrm{u}\times\mathrm{v})=(\mathrm{v}\cdot\nabla)\mathrm{u}-(\mathrm{u}\cdot\nabla)\mathrm{v}+\mathrm{u},\nabla\cdot\mathrm{v}-\mathrm{v},\nabla\cdot\mathrm{u}

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