Escreva os seguintes números complexos na forma polar
-5 ;

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo -5 na forma polar.
Informações dadas: o número complexo é -5, que é o mesmo que -5+0i. Não há outras informações.

Passo 2

O que é a forma polar de um número complexo? Vou explicar devagarinho. Para um número complexo genérico z=x+iy:
z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr),
onde:
  • x é a parte real de z;
  • y é a parte imaginária de z;
  • r é o módulo (ou magnitude) de z, isto é r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}};
  • \theta é o argumento (ângulo) de z, ou seja o ângulo que o vetor que representa z faz com o eixo real positivo. Esse \theta pode ser dado por \operatorname{atan2}(y,x) ou escolhido no conjunto \theta+\!2k\pi, k\in\mathbb{Z}.
    Também é comum usar a forma exponencial:
z = r\,e^{i\theta}.
Sempre que eu usar uma fórmula, escrevo o significado de cada símbolo, para você poder aplicar na prova sem medo.

Passo 3

Identificando x e y no nosso caso: como -5 = -5+0i, temos x=-5 e y=0. Agora calculamos o módulo:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(-5)^{2}+0^{2}}=\sqrt{25}=5.
Expliquei passo a passo: ele é a distância do ponto (-5,0) até a origem no plano complexo.

Passo 4

Agora o argumento \theta. O ponto (-5,0) está sobre o eixo real, à esquerda da origem. Os ângulos correspondentes a pontos no eixo real negativo são \theta=\pi (ou equivalentemente \theta=-\pi); o valor principal do argumento costuma ser escolhido em (-\pi,\pi], então tomamos \theta=\pi. Também podemos anotar as soluções gerais \theta=\pi+2k\pi, k\in\mathbb{Z}.
Justificativa curta: \operatorname{atan2}(0,-5)=\pi, e geometricamente o vetor aponta para a direção de 180^\circ que é \pi radianos.

Passo 5

Montamos a forma polar e conferimos: usando r=5 e \theta=\pi,
-5 = 5\bigl(\cos\pi + i\sin\pi\bigr).
Checagem rápida: \cos\pi=-1 e \sin\pi=0, então 5(-1+0\cdot i)=-5, está certo. Na forma exponencial:
-5 = 5\,e^{i\pi}.
Lembre que você também pode escrever o ângulo adicionando 2k\pi se quiser as infinitas representações equivalentes.

Resposta

5\bigl(\cos\pi + i\sin\pi\bigr)
5e^{i\pi}

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