Escreva os seguintes números complexos na forma polar.
1+\sqrt{2} i

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo z = 1 + \sqrt{2}\,i na forma polar.
Neste caso vamos precisar do módulo r e do argumento \theta, pois na forma polar temos
z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr)
ou equivalentemente
z = r\,e^{i\theta}.

Passo 2

Calcular o módulo r usando a definição
r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2},
onde x=1 e y=\sqrt{2}. Logo,
r = \sqrt{1^2 + \bigl(\sqrt{2}\bigr)^2} = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3}.

Passo 3

Determinar o argumento \theta, que satisfaz
\tan\theta = \frac{y}{x} = \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2}.
Como x>0 e y>0, temos \theta no primeiro quadrante, ou seja
\theta = \arctan\!\bigl(\sqrt{2}\bigr).

Passo 4

Substituindo r e \theta na forma polar, obtemos
z = \sqrt{3}\,\Bigl(\cos\bigl(\arctan(\sqrt{2})\bigr) + i\,\sin\bigl(\arctan(\sqrt{2})\bigr)\Bigr)
ou, em forma exponencial,
z = \sqrt{3}\;e^{\,i\,\arctan(\sqrt{2})}.

Resposta

z = \sqrt{3}\,\bigl(\cos(\arctan(\sqrt{2})) + i\sin(\arctan(\sqrt{2}))\bigr) \quad\text{ou}\quad z = \sqrt{3}\,e^{\,i\,\arctan(\sqrt{2})}.

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