Escreva os seguintes números complexos na forma polar.
1-\sqrt{2} i

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo z = 1 - \sqrt{2}\,i na forma polar.
Conteúdo: representação de números complexos em coordenadas polares.
O que vamos precisar:
– calcular o módulo r = |z|, definido por \sqrt{x^2 + y^2};
– determinar o argumento \theta = \arg(z), usando \tan\theta = \tfrac{y}{x} e ajustando o quadrante;
– montar a forma polar z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr).

Passo 2

Calcular o módulo
r = |z| = \sqrt{1^2 + \bigl(-\sqrt{2}\bigr)^2} = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3}.

Passo 3

Determinar o argumento.
Temos x=1>0 e y=-\sqrt{2}<0, logo o ponto (1,-\sqrt{2}) está no 4.º quadrante.
Calculamos o ângulo auxiliar
\alpha = \arctan\!\biggl(\frac{|y|}{|x|}\biggr) = \arctan\!\bigl(\sqrt{2}\bigr).
Como y é negativo, o argumento principal é
\theta = -\alpha = -\,\arctan\!\bigl(\sqrt{2}\bigr).

Passo 4

Escrever a forma polar usando r e \theta.
z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr) = \sqrt{3}\Bigl(\cos\bigl(-\arctan(\sqrt{2})\bigr) + i\sin\bigl(-\arctan(\sqrt{2})\bigr)\Bigr).

Resposta

z = \sqrt{3}\Bigl(\cos\bigl(-\arctan(\sqrt{2})\bigr) + i\sin\bigl(-\arctan(\sqrt{2})\bigr)\Bigr).
Ou, equivalentemente,
z = \sqrt{3}\,e^{-\,i\arctan(\sqrt{2})}.

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