Expresse os seguintes números complexos na forma a+b i.
(7+i pi)(\pi+i)

Passo 1

O enunciado pede para escrever o produto (7 + i\pi)(\pi + i) na forma retangular a + b\,i. Vamos usar a propriedade distributiva (FOIL) para multiplicar dois números complexos e depois agrupar parte real e imaginária.

Passo 2

Aplicando FOIL temos:
(7 + i\pi)(\pi + i) = 7\pi + 7\,i + i\pi\cdot\pi + i\pi\cdot i.

Passo 3

Usando \pi\cdot\pi=\pi^2 e i^2=-1, obtemos
7\pi + 7\,i + i\pi^2 + i^2\pi = 7\pi + 7\,i + i\pi^2 - \pi.

Passo 4

Agora agrupamos a parte real e a parte imaginária:
parte real: 7\pi - \pi = 6\pi,
parte imaginária: \pi^2 + 7.
Logo,
(7 + i\pi)(\pi + i) = 6\pi + (\pi^2 + 7)\,i.

Resposta

6\pi + (\pi^2 + 7)\,i

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