Escreva os seguintes números complexos na forma polar.
\frac{2+3 i}{5+4 i}

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo
\frac{2+3i}{5+4i}
na forma polar. O conteúdo que vamos usar envolve divisão de números complexos (racionalizar o denominador) e depois converter o resultado da forma retangular x+iy para a forma polar r(\cos\theta + i\sin\theta) ou re^{i\theta}.

Passo 2

Primeiro racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador por 5-4i:
\frac{2+3i}{5+4i} =\frac{(2+3i)(5-4i)}{(5+4i)(5-4i)} =\frac{2\cdot5 + 2\cdot(-4i) + 3i\cdot5 + 3i\cdot(-4i)}{5^2 - (4i)^2}.
No numerador:
2\cdot5 = 10,\quad 2\cdot(-4i)=-8i,\quad 3i\cdot5=15i,\quad 3i\cdot(-4i)=-12i^2=+12.
Somando,
10 + 12 + (-8i+15i) = 22 + 7i.
No denominador:
5^2 - (4i)^2 = 25 - (16\cdot(-1)) = 25 + 16 = 41.
Logo
\frac{2+3i}{5+4i} =\frac{22+7i}{41} =\frac{22}{41} + \frac{7}{41}i.

Passo 3

Agora calculamos o módulo
r = \sqrt{\Bigl(\frac{22}{41}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{7}{41}\Bigr)^2} =\sqrt{\frac{22^2 + 7^2}{41^2}} =\frac{\sqrt{484 + 49}}{41} =\frac{\sqrt{533}}{41}.

Passo 4

Em seguida achamos o argumento \theta. Como as partes real e imaginária são positivas, \theta está no primeiro quadrante e
\theta = \arctan\!\Bigl(\frac{\Im}{\Re}\Bigr) =\arctan\!\Bigl(\frac{7/41}{22/41}\Bigr) =\arctan\!\Bigl(\frac{7}{22}\Bigr).

Passo 5

Portanto, na forma polar temos
\frac{2+3i}{5+4i} =\frac{\sqrt{533}}{41}\bigl(\cos\bigl(\arctan(\tfrac{7}{22})\bigr) +i\sin\bigl(\arctan(\tfrac{7}{22})\bigr)\bigr),
ou, equivalentemente,
\frac{2+3i}{5+4i} =\frac{\sqrt{533}}{41}\,e^{\,i\arctan(\tfrac{7}{22})}.

Resposta

\frac{2+3i}{5+4i} =\frac{\sqrt{533}}{41}\,e^{\,i\arctan(\tfrac{7}{22})}.

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