Escreva os seguintes números complexos na forma trigonométrica:
(b) 3-3 \sqrt{3} i

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo z = 3 - 3\sqrt{3}\,i na forma trigonométrica. Para isso, precisamos calcular o módulo \lvert z\rvert e o argumento \theta de z.

Passo 2

Calculamos o módulo usando a fórmula \lvert z\rvert = \sqrt{\Re(z)^2 + \Im(z)^2}. Aqui \Re(z)=3 e \Im(z)=-3\sqrt{3}, logo
\lvert z\rvert = \sqrt{3^2 + \bigl(-3\sqrt{3}\bigr)^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6.

Passo 3

O argumento \theta satisfaz
\tan\theta = \frac{\Im(z)}{\Re(z)} = \frac{-3\sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3}.
Como \Re(z)>0 e \Im(z)<0, o ponto está no quarto quadrante, onde \theta = -\tfrac{\pi}{3} (ou equivalentemente 5\pi/3).

Resposta

3 - 3\sqrt{3}\,i \;=\; 6\Bigl(\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{3}\bigr) + i\,\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{3}\bigr)\Bigr).

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