Questão 0.7. Determine o número complexo z tal que i z+2 \bar{z}+1-i=0.

Passo 1

O enunciado pede para achar o número complexo z que satisfaz
i\,z \;+\;2\,\overline{z}\;+\;1\;-\;i \;=\;0.
O conteúdo aqui é manipular números complexos na forma cartesiana, escrevendo z=x+iy e igualando parte real e parte imaginária.

Passo 2

Escrevemos
z = x + i\,y, \quad \overline{z} = x - i\,y.
Então
i\,z = i(x + i\,y) = i\,x - y, \qquad 2\,\overline{z} = 2x - 2\,i\,y.
Substituindo na equação dada:
(i\,z)+(2\,\overline{z})+(1-i) =(i\,x - y)+(2x - 2\,i\,y)+(1 - i)=0.

Passo 3

Separamos parte real e parte imaginária:
parte real
2x \;-\;y\;+\;1 \;=\;0,
parte imaginária
x \;-\;2y\;-\;1 \;=\;0.
Isso gera o sistema linear
\begin{cases} 2x - y = -1,\\\ x - 2y = 1. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema, da segunda equação x=1+2y. Substituindo na primeira:
2(1+2y)-y=-1 \quad\Longrightarrow\quad 2+4y-y=-1 \quad\Longrightarrow\quad 3y=-3 \quad\Longrightarrow\quad y=-1.
Logo x=1+2(-1)=-1. Portanto
z = x + i\,y = -1 - i.

Resposta

z=-1 - i

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