Escreva os seguintes números complexos na forma trigonométrica (Euler):
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede para escrevê‑lo na forma trigonométrica (euleriana). Informações fornecidas:
- Parte real:
. - Parte imaginária:
.
O que se quer: escreverna forma e também na forma de Euler .
Passo 2
Calcular o módulo
. Fórmula do módulo de um complexo
:
onde
e
. Aqui
e
. Então
Aproximação decimal:
Passo 3
Calcular o argumento
. Regra prática: inicialmente calcula‑se
, mas é preciso ajustar conforme o quadrante (sinal de
e
).
Aqui e
— ponto no terceiro quadrante (ângulo entre
e
, mais precisamente entre
e
quando medido positivo). Começamos por
Aqui
Como
, somamos
para obter um ângulo com a direção correta:
Essa é uma forma exata em termos de
. Em valor numérico,
Como ângulo equivalente no intervalo principal
podemos subtrair
:
Ambas as representações são corretas e descrevem o mesmo ponto; muitas vezes usa‑se o valor principal
.
Passo 4
Determinar
e
diretamente a partir das coordenadas — isso ajuda a escrever a forma trigonométrica de maneira exata:
Verificação rápida (produto retorna as coordenadas):
Passo 5
Escrever
na forma trigonométrica e na forma de Euler. Usando
e
(ou o equivalente principal),
forma trigonométrica:
forma trigonométrica:
Usando os valores exatos para
e
:
com
e
.
Forma de Euler:
com
(ou
).
Passo 6
Resumo final e formas numéricas aproximadas (úteis na prova): usando
e
,
e
Força aí — com esses passos fica fácil converter qualquer complexo para a forma trigonométrica/Euler!