Escreva os seguintes números complexos na forma trigonométrica (Euler):
z=(-4-i)

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z = (-4 - i) e pede para escrevê‑lo na forma trigonométrica (euleriana). Informações fornecidas:
  • Parte real: \operatorname{Re}(z) = -4.
  • Parte imaginária: \operatorname{Im}(z) = -1.
    O que se quer: escrever z na forma \displaystyle r(\cos\theta + i\sin\theta) e também na forma de Euler \displaystyle r e^{i\theta}.

Passo 2

Calcular o módulo r. Fórmula do módulo de um complexo x+iy:
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}},
onde x=\operatorname{Re}(z) e y=\operatorname{Im}(z). Aqui x=-4 e y=-1. Então
r=\sqrt{(-4)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}.
Aproximação decimal:
r=\sqrt{17}\approx 4,123105626.

Passo 3

Calcular o argumento \theta. Regra prática: inicialmente calcula‑se \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right), mas é preciso ajustar conforme o quadrante (sinal de x e y).
Aqui x=-4<0 e y=-1<0 — ponto no terceiro quadrante (ângulo entre \pi e -\pi, mais precisamente entre \pi e \tfrac{3\pi}{2} quando medido positivo). Começamos por
\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{-1}{-4}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{1}{4}\right).
Como x<0, somamos \pi para obter um ângulo com a direção correta:
\theta=\arctan\!\left(\dfrac{1}{4}\right)+\pi.
Essa é uma forma exata em termos de \arctan. Em valor numérico,
\arctan\!\left(\dfrac{1}{4}\right)\approx 0,244978663, \qquad \theta\approx 0,244978663+\pi\approx 3,386571317.
Como ângulo equivalente no intervalo principal (-\pi,\pi] podemos subtrair 2\pi:
\theta_{\text{principal}}=\theta-2\pi\approx 3,386571317-2\pi\approx -2,896614987.
Ambas as representações são corretas e descrevem o mesmo ponto; muitas vezes usa‑se o valor principal \theta\approx -2,896614987.

Passo 4

Determinar \cos\theta e \sin\theta diretamente a partir das coordenadas — isso ajuda a escrever a forma trigonométrica de maneira exata:
\cos\theta=\dfrac{x}{r}=\dfrac{-4}{\sqrt{17}},\qquad \sin\theta=\dfrac{y}{r}=\dfrac{-1}{\sqrt{17}}.
Verificação rápida (produto retorna as coordenadas):
r\cos\theta=\sqrt{17}\cdot\left(\dfrac{-4}{\sqrt{17}}\right)=-4,\qquad r\sin\theta=\sqrt{17}\cdot\left(\dfrac{-1}{\sqrt{17}}\right)=-1.

Passo 5

Escrever z na forma trigonométrica e na forma de Euler. Usando r=\sqrt{17} e \theta=\arctan\!\left(\dfrac{1}{4}\right)+\pi (ou o equivalente principal),
forma trigonométrica:
z=\sqrt{17}\left(\cos\!\biggl(\arctan\!\tfrac{1}{4}+\pi\biggr)+i\sin\!\biggl(\arctan\!\tfrac{1}{4}+\pi\biggr)\right).
Usando os valores exatos para \cos\theta e \sin\theta:
z=\sqrt{17}\!\left(\dfrac{-4}{\sqrt{17}} + i\,\dfrac{-1}{\sqrt{17}}\right) = \sqrt{17}\left(\cos\theta + i\sin\theta\right),
com \cos\theta=-\dfrac{4}{\sqrt{17}} e \sin\theta=-\dfrac{1}{\sqrt{17}}.
Forma de Euler:
z=\sqrt{17}\,e^{i\theta},
com \theta=\arctan\!\left(\dfrac{1}{4}\right)+\pi (ou \theta\approx -2,896614987).

Passo 6

Resumo final e formas numéricas aproximadas (úteis na prova): usando \theta\approx -2,896614987 e r\approx 4,123105626,
z\approx 4,123105626\bigl(\cos(-2,896614987)+i\sin(-2,896614987)\bigr)
e
z\approx 4,123105626\,e^{\,i(-2,896614987)}.
Força aí — com esses passos fica fácil converter qualquer complexo para a forma trigonométrica/Euler!

Resposta

\displaystyle z=\sqrt{17}\Bigl(\cos\!\bigl(\arctan\tfrac{1}{4}+\pi\bigr)+i\sin\!\bigl(\arctan\tfrac{1}{4}+\pi\bigr)\Bigr)
\displaystyle z=\sqrt{17}\,e^{\,i\left(\arctan\frac{1}{4}+\pi\right)}

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