Escreva os seguintes números na forma trigonométrica e represente-os no plano de Argand:
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede duas coisas:
- Escrever
na forma trigonométrica (ou forma polar) — isto é, encontrar e tais que . - Representar
no plano de Argand (localizar o ponto/vetor correspondente).
Informações relevantes fornecidas:
- Parte real:
. - Parte imaginária:
.
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas e a ideia por trás da forma trigonométrica (aulas rápidas, sem pânico).
- Para um número complexo
, o módulo é a distância do ponto até a origem:
Aqui
é a parte real e
a parte imaginária.
- O argumento
é o ângulo que o vetor que vai da origem até faz com o eixo real positivo. Para calcular normalmente usamos:
ou, de forma prática quando
,
levando em conta o quadrante (ou seja, sinais de
e
).
- Uma vez que se tem
e , a forma trigonométrica é
Também é comum usar a forma exponencial:
Observações úteis para a prova:
- Sempre verifique o quadrante usando os sinais de
e . - Para checar, pode-se computar
e e ver se batem com valores conhecidos.
Passo 3
Calcular o módulo
passo a passo com os valores dados:
Agora avalia cada quadrado:
logo
Portanto o módulo é
.
Passo 4
Calcular o argumento
. Primeiro a razão
:
Então
Lembrando os ângulos notáveis,
(ou
). Verifique o quadrante: como
e
, o ponto está no primeiro quadrante, então
é a escolha correta (sem adicionar
ou coisa do tipo).
Passo 5
Confirmar consistência com
e
. Sabendo que
, calculemos:
e o mesmo para
. Então
isto é consistente com
.
Passo 6
Escrever a forma trigonométrica e a forma exponencial:
Forma exponencial equivalente:
Passo 7
Fazer a verificação de ida e volta (útil na prova para garantir que não errou):
Calcular as componentes a partir da forma trigonométrica:
Calcular as componentes a partir da forma trigonométrica:
e o mesmo para a parte imaginária:
Isso recupera
, então está tudo certo.
Passo 8
Como representar no plano de Argand (descrição prática para desenhar na prova):
- Marcar o eixo real horizontal e o eixo imaginário vertical.
- Marcar o ponto com coordenadas
. Numericamente, . - Desenhar o vetor do ponto
até . Esse vetor tem comprimento e faz um ângulo de (ou radianos) com o eixo real positivo.
Dica rápida: seentão o ponto fica sobre a bissetriz do primeiro quadrante e o ângulo é sempre .
Resposta
Representação no plano de Argand: ponto