Escreva os seguintes números na forma trigonométrica e represente-os no plano de Argand:
z=\sqrt{3}+\sqrt{3} i

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z=\sqrt{3}+\sqrt{3}\,i e pede duas coisas:
  • Escrever z na forma trigonométrica (ou forma polar) — isto é, encontrar r e \theta tais que z=r(\cos\theta+i\sin\theta).
  • Representar z no plano de Argand (localizar o ponto/vetor correspondente).
Informações relevantes fornecidas:
  • Parte real: x=\sqrt{3}.
  • Parte imaginária: y=\sqrt{3}.

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas e a ideia por trás da forma trigonométrica (aulas rápidas, sem pânico).
  • Para um número complexo z=x+iy, o módulo r é a distância do ponto (x,y) até a origem:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui x é a parte real e y a parte imaginária.
  • O argumento \theta é o ângulo que o vetor que vai da origem até (x,y) faz com o eixo real positivo. Para calcular \theta normalmente usamos:
\theta=\operatorname{atan2}(y,x),
ou, de forma prática quando x\neq0,
\theta=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right),
levando em conta o quadrante (ou seja, sinais de x e y).
  • Uma vez que se tem r e \theta, a forma trigonométrica é
z=r\bigl(\cos\theta+i\sin\theta\bigr).
Também é comum usar a forma exponencial:
z=r\,e^{i\theta}.
Observações úteis para a prova:
  • Sempre verifique o quadrante usando os sinais de x e y.
  • Para checar, pode-se computar \cos\theta=\dfrac{x}{r} e \sin\theta=\dfrac{y}{r} e ver se batem com valores conhecidos.

Passo 3

Calcular o módulo r passo a passo com os valores dados:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{\bigl(\sqrt{3}\bigr)^{2}+\bigl(\sqrt{3}\bigr)^{2}}.
Agora avalia cada quadrado:
\bigl(\sqrt{3}\bigr)^{2}=3,
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r=\sqrt{3+3}=\sqrt{6}.
Portanto o módulo é r=\sqrt{6}.

Passo 4

Calcular o argumento \theta. Primeiro a razão y/x:
\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1.
Então
\theta=\arctan(1).
Lembrando os ângulos notáveis, \arctan(1)=\dfrac{\pi}{4} (ou 45^\circ). Verifique o quadrante: como x=\sqrt{3}>0 e y=\sqrt{3}>0, o ponto está no primeiro quadrante, então \theta=\dfrac{\pi}{4} é a escolha correta (sem adicionar \pi ou coisa do tipo).

Passo 5

Confirmar consistência com \cos\theta e \sin\theta. Sabendo que \cos\!\dfrac{\pi}{4}=\sin\!\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, calculemos:
\frac{x}{r}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{3}{6}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},
e o mesmo para \dfrac{y}{r}. Então
\cos\theta=\frac{x}{r},\qquad \sin\theta=\frac{y}{r},
isto é consistente com \theta=\dfrac{\pi}{4}.

Passo 6

Escrever a forma trigonométrica e a forma exponencial:
z=\sqrt{6}\biggl(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\biggr).
Forma exponencial equivalente:
z=\sqrt{6}\,e^{i\pi/4}.

Passo 7

Fazer a verificação de ida e volta (útil na prova para garantir que não errou):
Calcular as componentes a partir da forma trigonométrica:
\sqrt{6}\cos\frac{\pi}{4}=\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{12}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},
e o mesmo para a parte imaginária:
\sqrt{6}\sin\frac{\pi}{4}=\sqrt{3}.
Isso recupera z=\sqrt{3}+\sqrt{3}\,i, então está tudo certo.

Passo 8

Como representar no plano de Argand (descrição prática para desenhar na prova):
  • Marcar o eixo real horizontal e o eixo imaginário vertical.
  • Marcar o ponto com coordenadas (\sqrt{3},\sqrt{3}). Numericamente, \sqrt{3}\approx1,732.
  • Desenhar o vetor do ponto (0,0) até (\sqrt{3},\sqrt{3}). Esse vetor tem comprimento \sqrt{6}\approx2,449 e faz um ângulo de 45^\circ (ou \pi/4 radianos) com o eixo real positivo.
    Dica rápida: se x=y>0 então o ponto fica sobre a bissetriz do primeiro quadrante e o ângulo é sempre \pi/4.

Resposta

z=\sqrt{6}\bigl(\cos\tfrac{\pi}{4}+i\sin\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\sqrt{6}\,e^{i\pi/4}
Representação no plano de Argand: ponto \bigl(\sqrt{3},\sqrt{3}\bigr) (módulo \sqrt{6}, argumento \tfrac{\pi}{4}).

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