Escreva os seguintes vetores como combinação dos vetores v_{1}=(1,2) e v_{2}=(-1,1) em \mathbb{R}^{2}.
v=(a, b)

Passo 1

O enunciado pede para escrever um vetor genérico v=(a,b) como combinação linear dos vetores
v_{1} = (1,2) \quad\text{e}\quad v_{2} = (-1,1)
em \mathbb{R}^{2}. O conteúdo aqui é resolver um sistema linear para encontrar coeficientes numa base de \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Supondo
v = x\,v_{1} + y\,v_{2},
temos em coordenadas
(x - y,\;2x + y) = (a,b),
ou seja, o sistema
\begin{cases} x - y = a,\\\\ 2x + y = b. \end{cases}
Como
\det\begin{pmatrix}1 & -1 \\[6pt] 2 & 1\end{pmatrix} = 1\cdot1 - (-1)\cdot2 = 3 \neq 0,
os vetores v_{1},v_{2} formam base de \mathbb{R}^{2} e o sistema tem solução única.]

Passo 3

Da segunda equação vem
y = b - 2x.
Substituindo na primeira:
x - (b - 2x) = a \;\Longrightarrow\; 3x = a + b \;\Longrightarrow\; x = \frac{a + b}{3}.
Logo
y = b - 2\frac{a + b}{3} = \frac{3b - 2a - 2b}{3} = \frac{b - 2a}{3}.

Resposta

v = \frac{a + b}{3}\,v_{1} \;+\; \frac{b - 2a}{3}\,v_{2}.

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