Escreva os seguintes vetores de P2(R) como combinações lineares dos vetores e1=1, e2=t, e3=t^2:
2-t+3 t^2

Passo 1

O enunciado pede para escrever o polinômio p(t)=2 - t + 3t^2 como combinação linear dos vetores da base e1=1, e2=t e e3=t^2 de P2(R). Vamos usar a definição de combinação linear num espaço vetorial: achar escalares alpha,beta,gamma tais que
p(t)=alpha,e1+beta,e2+gamma,e3

Passo 2

Escrevendo a combinação genérica temos
alpha,e1+beta,e2+gamma,e3 =alphacdot1+betacdot t+gammacdot t^2
Comparando com p(t)=2 - t + 3t^2, vemos que os coeficientes de 1, t e t^2 devem ser iguais:

Passo 3

Igualando coeficientes:
alpha = 2, beta = -1, gamma = 3
Logo, a combinação linear é encontrada.

Resposta

2 - t + 3t^2 ;=; 2,e1 ;-;e2;+;3,e3

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