Escreva os seguintes vetores de P2(R) como combinações lineares dos vetores e1=1, e2=t, e3=t^2:
1+t+t^2

Passo 1

O enunciado pede para escrever o polinômio p(t)=1+t+t^2 como combinação linear dos vetores-base e1=1, e2=t e e3=t^2. O conteúdo é representação de polinômios em P2(R) numa base canônica, e vamos igualar coeficientes para encontrar os escalares.

Passo 2

Suponha que existam escalares a, b e c tais que
ae1+be2+ce3 =acdot1 + bcdot t + ccdot t^2
deva ser igual a 1 + t + t^2.

Passo 3

Igualando coeficientes de iguais potências de t em
a + b,t + c,t^2 ;=; 1 + t + t^2,
obtemos o sistema
a = 1, b = 1, c = 1

Passo 4

Logo, os coeficientes que escrevem 1+t+t^2 na base e1,e2,e3 são a=1, b=1, c=1.

Resposta

1+t+t^2 = 1cdot e1 ;+; 1cdot e2 ;+; 1cdot e3

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