Questão 10 - Suponha que 5.000 çõó$7.000$.
(a) Qual será o valor da conta após 5 anos?
(b) Quantos anos serão necessários para que o saldo dobre?

Passo 1

O enunciado trata de juros compostos continuamente, ou seja, o saldo P(t) satisfaz a equação diferencial de crescimento proporcional
dPdt=k,P,
onde k é a taxa de juros contínua. Sabemos que P(0)=5000 e que P(4)=7000. Vamos usar esses dados para (a) calcular P(5) e (b) achar o tempo para dobrar o capital.

Passo 2

Resolvendo a equação
dPdt=k,P
separa-se variáveis e integra-se, obtendo-se a solução geral
P(t)=P(0),e^k,t
Como P(0)=5000, temos
P(t)=5000,e^k,t

Passo 3

Usamos a condição P(4)=7000 para determinar k. Substituindo em P(t):
7000 = 5000,e^kcdot4 Longrightarrow e^4k = 70005000 = 75 Longrightarrow 4k = ln!l(tfrac75r) Longrightarrow k = 14ln!l(tfrac75r)

Passo 4

(a) Para t=5,
P(5)=5000,e^kcdot5 =5000,exp!l(5cdot14ln!tfrac75r) =5000l(tfrac75r)^5/4
Numericamente, usando ln(7/5)approx0,3365, obtemos
P(5)approx5000exp(5cdot0,0841)approx5000times1,523approx7615
Logo, o saldo será cerca de $7.615.

Passo 5

(b) Queremos td tal que P(td)=2cdot5000. Da fórmula
2cdot5000 = 5000,e^k,td Longrightarrow 2 = e^k,td Longrightarrow td = ln2k = ln2tfrac14ln!l(tfrac75r) = 4ln2ln!l(tfrac75r)
Numericamente, com ln2approx0,6931 e ln(7/5)approx0,3365,
tdapprox4times0,69310,3365approx8,24 anos

Resposta

(a) Aproximadamente $7.615.
(b) Cerca de 8,24 anos.

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