Escreva a série de Maclaurin e o intervalo de convergência para cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Maclaurin de e o intervalo de convergência dessa série. Para isso vamos usar a definição de série de Maclaurin e, em seguida, aplicar o teste da razão para determinar onde ela converge.
Passo 2
Lembrando que a série de Maclaurin de uma função é dada por
precisamos calcular as derivadas de em zero. Como
para todo . Logo a série fica
Passo 3
Para achar o raio (e, portanto, o intervalo) de convergência usamos o teste da razão em
Calculamos
Como esse limite é 0<1 para todo x, o raio de convergência é infinito.