Escreva a série de Maclaurin e o intervalo de convergência para cada uma das seguintes funções:
e^x

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Maclaurin de f(x)=e^x e o intervalo de convergência dessa série. Para isso vamos usar a definição de série de Maclaurin e, em seguida, aplicar o teste da razão para determinar onde ela converge.

Passo 2

Lembrando que a série de Maclaurin de uma função f é dada por
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,x^n,
precisamos calcular as derivadas de e^x em zero. Como
f(x)=e^xLongrightarrow f^(n)(x)=e^xLongrightarrow f^(n)(0)=e^0=1
para todo n. Logo a série fica
e^x=sumn=0^infty1n!,x^n

Passo 3

Para achar o raio (e, portanto, o intervalo) de convergência usamos o teste da razão em
an=x^nn!
Calculamos
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|x^n+1/(n+1)!x^n/n!| =limntoinfty|x|n+1=0
Como esse limite é 0<1 para todo x, o raio de convergência é infinito.

Resposta

e^x=sumn=0^inftyx^nn!,
convergindo para todo xin(-infty,infty).

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