(4) Escreva a série de Taylor para cos theta, sen theta e exp theta e verifique que e^i theta= cos theta+i sen theta, onde i é a unidade imaginária. Conclua que todo número complexo pode ser escrito na forma z=|z| e^i theta, onde theta=Arg(z).

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as séries de Taylor de costheta, sintheta e e^theta, usar essas séries para mostrar que e^itheta=costheta + isintheta (fórmula de Euler) e, por fim, concluir que qualquer número complexo z pode ser escrito na forma z=|z|e^itheta. Vamos precisar da definição geral de série de Taylor em torno de zero e das derivadas das funções envolvidas.

Passo 2

Começamos pela série de Taylor de e^theta em torno de 0. Sabemos que todas as derivadas de e^theta valem e^theta, logo em 0 são iguais a 1. Assim, a expansão é:
e^theta = sumn=0^infty theta^nn!

Passo 3

Agora obtemos as séries de sintheta e de costheta. Como as derivadas de sintheta e costheta se repetem ciclicamente, ficamos com
sintheta = sumn=0^infty (-1)^n theta^2n+1(2n+1)!,
costheta = sumn=0^infty (-1)^n theta^2n(2n)!

Passo 4

Para chegar em e^itheta, substituímos theta por itheta na série de e^theta:
e^itheta = sumn=0^infty (itheta)^nn!

Passo 5

Agora separamos a soma em termos pares e ímpares. Quando n=2k vem i^2k=(-1)^k e quando n=2k+1 vem i^2k+1=i(-1)^k. Então:
e^itheta = sumk=0^infty (-1)^k theta^2k(2k)! + isumk=0^infty (-1)^k theta^2k+1(2k+1)!
E esses dois somatórios são exatamente costheta e sintheta, respectivamente. Daí segue
e^itheta = costheta + isintheta

Passo 6

Finalmente, qualquer número complexo zneq 0 pode ser escrito em coordenadas polares como z = r(costheta + isintheta), onde r=|z| e . Usando a fórmula de Euler, concluímos
theta=Arg(z)

Resposta

As séries de Taylor em torno de zero são:
e^theta = sumn=0^infty theta^nn!,
costheta = sumn=0^infty (-1)^n theta^2n(2n)!,
sintheta = sumn=0^infty (-1)^n theta^2n+1(2n+1)!
Substituindo thetato itheta em e^theta e separando termos pares e ímpares, obtemos a fórmula de Euler:
e^itheta = costheta + isintheta
Assim, qualquer número complexo z pode ser expresso na forma polar exponencial:

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