(4) Escreva a série de Taylor para
e
e verifique que
, onde
é a unidade imaginária. Conclua que todo número complexo pode ser escrito na forma
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos as séries de Taylor de
,
e
, usar essas séries para mostrar que
(fórmula de Euler) e, por fim, concluir que qualquer número complexo
pode ser escrito na forma
. Vamos precisar da definição geral de série de Taylor em torno de zero e das derivadas das funções envolvidas.
Passo 2
Começamos pela série de Taylor de
em torno de
. Sabemos que todas as derivadas de
valem
, logo em
são iguais a 1. Assim, a expansão é:
Passo 3
Agora obtemos as séries de
e de
. Como as derivadas de
e
se repetem ciclicamente, ficamos com
Passo 4
Para chegar em
, substituímos
por
na série de
:
Passo 5
Agora separamos a soma em termos pares e ímpares. Quando
vem
e quando
vem
. Então:
E esses dois somatórios são exatamente
e
, respectivamente. Daí segue
Passo 6
Finalmente, qualquer número complexo
pode ser escrito em coordenadas polares como
, onde
e . Usando a fórmula de Euler, concluímos
Resposta
As séries de Taylor em torno de zero são:
Substituindo
em
e separando termos pares e ímpares, obtemos a fórmula de Euler:
Assim, qualquer número complexo
pode ser expresso na forma polar exponencial: