Uma partícula carregada de massa m e carga q desloca-se num campo magnético uniforme B0. Demonstre que o movimento mais geral da partícula descreve uma espiral cuja seção reta é um círculo de raio R=m vperp / q B. (Aqui vperp é a componente da velocidade da partícula perpendicular a B0. Escreva o sistema de equações diferenciais que regem o movimento da partícula e as resolva.

Passo 1

Temos uma partícula de massa m e carga q movendo-se num campo magnético uniforme vec B0. Esse é um problema de força de Lorentz, onde vec F=q,vec vtimesvec B0. Vamos escrever as equações diferenciais usando a segunda lei de Newton e resolvê-las em coordenadas com vec B0 ao longo de z, separando as componentes paralela e perpendicular à direção do campo.

Passo 2

Aplicando m,dvec v/dt=q,vec vtimesvec B0 e tomando vec B0=B,hat k e vec v=(vx,vy,vz), obtemos as equações de movimento:
mdvxdt=qB,vy, mdvydt=-qB,vx, mdvzdt=0

Passo 3

Da última equação vê-se que vz=vparal<=l é constante. Para vx e vy derivamos a primeira em t e usamos a segunda:
md^2vxdt^2=qBdvydt=-(qB)^2m,vx,
resultando em
d^2vxdt^2+omega^2vx=0, omega=qBm
O mesmo vale para vy.

Passo 4

As soluções harmônicas são
vx(t)=vperpcos(omega t+phi), vy(t)=-vperpsin(omega t+phi)
Integrando em t dá-se
x(t)=Rsin(omega t+phi), y(t)=Rcos(omega t+phi),
com
R=vperpomega=m,vperpqB

Passo 5

Combinando com o movimento ao longo de z,
z(t)=vparal<=lt+z0,
vemos que a trajetória é uma hélice (espiral) de seção reta circular de raio R=m vperp/(qB).

Resposta

O movimento geral é uma espiral (hélice) de seção reta circular de raio
R=m vperpqB,
com frequência ciclotrônica omega=qB/m e trajetórias
x(t)=Rsin(omega t+phi), y(t)=Rcos(omega t+phi), z(t)=vparal<=lt+z0

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