Uma partícula carregada de massa
e carga
desloca-se num campo magnético uniforme
. Demonstre que o movimento mais geral da partícula descreve uma espiral cuja seção reta é um círculo de raio
. (Aqui
é a componente da velocidade da partícula perpendicular a
. Escreva o sistema de equações diferenciais que regem o movimento da partícula e as resolva.
Passo 1
Temos uma partícula de massa
e carga
movendo-se num campo magnético uniforme
. Esse é um problema de força de Lorentz, onde
. Vamos escrever as equações diferenciais usando a segunda lei de Newton e resolvê-las em coordenadas com
ao longo de
, separando as componentes paralela e perpendicular à direção do campo.
Passo 2
Aplicando
e tomando
e
, obtemos as equações de movimento:
Passo 3
Da última equação vê-se que
é constante. Para
e
derivamos a primeira em t e usamos a segunda:
resultando em
O mesmo vale para
.
Passo 4
As soluções harmônicas são
Integrando em t dá-se
com
Passo 5
Combinando com o movimento ao longo de
,
vemos que a trajetória é uma hélice (espiral) de seção reta circular de raio
.
Resposta
O movimento geral é uma espiral (hélice) de seção reta circular de raio
com frequência ciclotrônica
e trajetórias