Para a série de potências a seguir, encontre o intervalo e o raio de convergência. Não esqueça de testar os extremos do intervalo encontrado : sumn=1^infty (x-5)^nn^2.

Passo 1

O enunciado pede o intervalo e o raio de convergência da série de potências
sumn=1^infty (x-5)^nn^2
O conteúdo envolve o uso do teste da raiz (ou razão) para determinar o raio de convergência R e, em seguida, testes auxiliares nos extremos x=5pm R.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz na série geral an(x)=(x-5)^n/n^2. Calculamos
limntoinftyraiz[n]l|an(x)r| =limntoinfty|x-5|n^2/n =|x-5|cdot1 =|x-5|
Pela condição de convergência do teste da raiz, precisamos de |x-5|<1. Logo o raio de convergência é
R = 1

Passo 3

O intervalo interior de convergência (sem testar extremos) é
5 - R < x < 5 + R Longrightarrow 4 < x < 6

Passo 4

Testamos o extremo x=4. Substituindo na série:
sumn=1^infty(4-5)^nn^2 =sumn=1^infty(-1)^nn^2
Essa série converge absolutamente, pois
sumn=1^inftyl|tfrac(-1)^nn^2r| =sumn=1^infty1n^2
é uma p-série com p=2>1. Portanto a série original converge em x=4.

Passo 5

Testamos o extremo x=6. Substituindo na série:
sumn=1^infty(6-5)^nn^2 =sumn=1^infty1n^2,
que também converge (de novo p=2). Logo a série converge em x=6.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência, incluindo extremos, é
[4,,6]

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