Para a série de potências a seguir, encontre o intervalo e o raio de convergência. Não esqueça de testar os extremos do intervalo encontrado :
.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo e o raio de convergência da série de potências
O conteúdo envolve o uso do teste da raiz (ou razão) para determinar o raio de convergência
e, em seguida, testes auxiliares nos extremos
.
Passo 2
Aplicamos o teste da raiz na série geral
. Calculamos
Pela condição de convergência do teste da raiz, precisamos de
|x-5|<1 . Logo o raio de convergência é
Passo 3
O intervalo interior de convergência (sem testar extremos) é
Passo 4
Testamos o extremo
x=4 . Substituindo na série:
Essa série converge absolutamente, pois
é uma
p -série com
p=2>1 . Portanto a série original converge em
x=4 .
Passo 5
Testamos o extremo
x=6 . Substituindo na série:
que também converge (de novo
p=2 ). Logo a série converge em
x=6 .
Resposta
O raio de convergência é
R=1 e o intervalo de convergência, incluindo extremos, é