Seja f(x, y)=x y e^x y Calcule:
partial fpartial x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = x y e^{x y} $ e precisa calcular a derivada parcial dessa função em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial e especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação de funções envolvendo produtos e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que $ f(x, y) $ é um produto de três termos: $ x $, $ y $ e $ e^{x y} $. Quando temos um produto de funções, usamos a regra do produto para derivar. A regra do produto para a derivada parcial em relação a $ x $ diz que a derivada de $ u \cdot v \cdot w $ é:
f(x, y)
No nosso caso, $ u = x $, $ v = y $, e $ w = e^{x y} $.

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais individualmente:
  1. Derivada de $ u = x $ em relação a $ x $:
    u = x
  2. Derivada de $ v = y $ em relação a $ x $:
    Como $ y $ é considerado uma constante em relação a $ x $,
    x
  3. Derivada de $ w = e^{x y} $ em relação a $ x $:
    Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ e^{g(x)} $ é $ e^{g(x)} \cdot g’(x) $. Então,
    partial upartial x = partial xpartial x = 1

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do produto com as derivadas que calculamos:
partial fpartial x = partial upartial x cdot v cdot w + u cdot partial vpartial x cdot w + u cdot v cdot partial wpartial x
Substituindo os valores:
partial fpartial x = 1 cdot y cdot e^x y + x cdot 0 cdot e^x y + x cdot y cdot (e^x y cdot y)

Passo 5

Simplificando a expressão:
partial fpartial x = y e^x y + 0 + x y^2 e^x y
Podemos fatorar $ y e^{x y} $:
y e^x y

Resposta

A derivada parcial de $ f(x, y) = x y e^{x y} $ em relação a $ x $ é:
f(x, y) = x y e^x y

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