Seja
Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = x y e^{x y} $ e precisa calcular a derivada parcial dessa função em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial e especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação de funções envolvendo produtos e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que $ f(x, y) $ é um produto de três termos: $ x $, $ y $ e $ e^{x y} $. Quando temos um produto de funções, usamos a regra do produto para derivar. A regra do produto para a derivada parcial em relação a $ x $ diz que a derivada de $ u \cdot v \cdot w $ é:
No nosso caso, $ u = x $, $ v = y $, e $ w = e^{x y} $.
Passo 3
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais individualmente:
-
Derivada de $ u = x $ em relação a $ x $:
-
Derivada de $ v = y $ em relação a $ x $:
Como $ y $ é considerado uma constante em relação a $ x $, -
Derivada de $ w = e^{x y} $ em relação a $ x $:
Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ e^{g(x)} $ é $ e^{g(x)} \cdot g’(x) $. Então,
Passo 4
Agora, aplicamos a regra do produto com as derivadas que calculamos:
Substituindo os valores:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Podemos fatorar $ y e^{x y} $:
Resposta
A derivada parcial de $ f(x, y) = x y e^{x y} $ em relação a $ x $ é: