Quantas constantes arbitrárias (também chamadas de parâmetros) cada uma das seguintes famílias de funções contém?
ln (a x+b)+ln (c x+d)

Passo 1

O enunciado pergunta quantas constantes arbitrárias (parâmetros) há na família de funções
ln(a x + b) + ln(c x + d).
O conteúdo aqui é reconhecer parâmetros em uma família de funções e identificar eventuais dependências entre eles.

Passo 2

Reescrevemos a soma de logaritmos como logaritmo de produto:
ln(a x + b) + ln(c x + d) = ln!l((a x + b)(c x + d)r)

Passo 3

Expandindo o produto interno, obtemos
(a x + b)(c x + d) = a c,x^2 + (a d + b c),x + b d
Logo as três combinações de parâmetros são
A = a c, B = a d + b c, C = b d,
de modo que internamente temos três coeficientes.

Passo 4

Originalmente há quatro parâmetros livres a,b,c,d, mas existe uma redundância:
se substituirmos
ato t,a, bto t,b, cto ct, dto dt
com tneq0, o produto (a x+b)(c x+d) permanece o mesmo.
Isso mostra que nem todos os quatro são independentes — sobra um grau de liberdade a menos.

Passo 5

Concluímos que a família efetivamente tem três constantes arbitrárias independentes.

Resposta

3

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