(a)
.
Passo 1
Queremos calcular a integral dupla
O conteúdo principal é mudança para coordenadas polares, pois o integrando depende de
e a região tem formato de setor circular.
Passo 2
A região de integração
no plano
é dada por
e
Isso descreve um setor no primeiro quadrante limitado por
,
e o círculo
. Em coordenadas polares:
$$
R={(r,\theta):0\le r\le2\sqrt{2},;0\le\theta\le\tfrac{\pi}{4}}.$$
Passo 3
Em coordenadas polares usamos
além de
. Logo o integrando
vira
.
Passo 4
Reescrevendo a integral em polares:
Primeiro integramos em
:
Depois em
:
Passo 5
Combinando tudo, obtemos o valor final da integral.