(a) integral0^2 integral0^x raizx^2+y^2 d y d x+integral2^2 raiz2 integral0^raiz8-x^2 raizx^2+y^2 d y d x.

Passo 1

Queremos calcular a integral dupla
I=integral0^2integral0^xraizx^2+y^2,dy,dx+integral2^2raiz2integral0^raiz8-x^2raizx^2+y^2,dy,dx
O conteúdo principal é mudança para coordenadas polares, pois o integrando depende de raizx^2+y^2 e a região tem formato de setor circular.

Passo 2

A região de integração R no plano (x,y) é dada por
0<= y<= x,0<= x<=2
e
0<= y<=raiz8-x^2,2<= x<=2raiz2
Isso descreve um setor no primeiro quadrante limitado por theta=0, theta=pi/4 e o círculo r=2raiz2. Em coordenadas polares:
$$
R={(r,\theta):0\le r\le2\sqrt{2},;0\le\theta\le\tfrac{\pi}{4}}.$$

Passo 3

Em coordenadas polares usamos
x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta,
além de raizx^2+y^2=r. Logo o integrando raizx^2+y^2,dA vira rcdot r,dr,dtheta=r^2,dr,dtheta.

Passo 4

Reescrevendo a integral em polares:
I=integral0^pi/4integral0^2raiz2r^2,dr,dtheta
Primeiro integramos em r:
integral0^2raiz2r^2,dr=l[tfracr^33r]0^2raiz2=tfrac(2raiz2)^33=tfrac16raiz23
Depois em theta:
I=integral0^pi/4tfrac16raiz23,dtheta=tfrac16raiz23cdottfracpi4=tfrac4raiz2,pi3

Passo 5

Combinando tudo, obtemos o valor final da integral.

Resposta

4raiz2,pi3

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