Escreva as superfícies descritas pelas funções vetoriais abaixo em coordenadas cartesianas. .
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar a função vetorial dada em coordenadas cartesianas. O conteúdo envolvido aqui é o de mudança de coordenadas, onde a gente converte expressões de um sistema de coordenadas para outro. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas que relacionam coordenadas polares com cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função vetorial que a gente tem:
phi(r, theta) = (r cos theta, r sin theta, 4 - r sin theta)
Aqui, r e theta são as coordenadas polares, e queremos expressar isso em termos de x , y e z nas coordenadas cartesianas.
Passo 3
Vamos lembrar das relações entre coordenadas polares e cartesianas:
x = r cos theta y = r sin theta
Com essas fórmulas, a gente pode substituir r cos theta por x e r sin theta por y .
Passo 4
Substituindo na função vetorial:
phi(r, theta) = (x, y, 4 - y)
Isso nos dá a primeira equação cartesianas para a superfície:
z = 4 - y
Ou seja, podemos reescrever como:
z + y = 4
Passo 5
Além disso, sabemos que r está entre 0 e 2. Como r^2 = x^2 + y^2 , isso nos dá a restrição: