Escreva as superfícies descritas pelas funções vetoriais abaixo em coordenadas cartesianas.
r(u, v)=(2 cos u, 2 sin u, v), 0 <= u <= 2 pi, 0 <= v <= 4-2 sin u. Resp.: x^2+y^2=4 e 0 <= z <= 4-y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente transformar uma função vetorial em coordenadas cartesianas. Especificamente, temos a função vetorial r(u, v) = (2 cos u, 2 sin u, v) com os parâmetros u e v variando dentro de certos intervalos. O conteúdo que vamos usar aqui envolve conversão de coordenadas parametrizadas para coordenadas cartesianas, usando trigonometria básica e entendimento das relações entre as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as primeiras duas componentes da função vetorial: x = 2 cos u e y = 2 sin u . Essas equações nos lembram das fórmulas paramétricas de um círculo no plano xy. Sabemos que, para um círculo de raio r , as coordenadas são dadas por x = r cos theta e y = r sin theta , onde theta é o ângulo.

Passo 3

Aqui, o raio r é 2, então temos x = 2 cos u e y = 2 sin u . Para eliminar o parâmetro u e encontrar a equação em coordenadas cartesianas, usamos a identidade trigonométrica cos^2 u + sin^2 u = 1 . Dividindo ambos os lados por 4, temos:
(x2)^2 + (y2)^2 = 1
Multiplicando tudo por 4 para simplificar:
x^2 + y^2 = 4
Isso nos mostra que a superfície é um cilindro circular de raio 2 ao longo do eixo z.

Passo 4

Agora, vamos considerar a terceira componente da função vetorial: z = v . O intervalo para v é 0 <= v <= 4 - 2 sin u . Como z = v , podemos reescrever essa desigualdade como:
0 <= z <= 4 - 2 sin u
Nosso objetivo é expressar essa desigualdade apenas em termos de y , já que temos y = 2 sin u .

Passo 5

A partir de y = 2 sin u , podemos resolver para sin u :
sin u = y2
Substituindo isso na desigualdade para z :
0 <= z <= 4 - 2 ( y2 ) = 4 - y
Então, temos que z varia de 0 até 4 - y .

Resposta

A superfície em coordenadas cartesianas é descrita por:
x^2 + y^2 = 4 e 0 <= z <= 4 - y

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