Escreva as superfícies descritas pelas funções vetoriais abaixo em coordenadas cartesianas.
. Resp.:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente transformar uma função vetorial em coordenadas cartesianas. Especificamente, temos a função vetorial
com os parâmetros
e
variando dentro de certos intervalos. O conteúdo que vamos usar aqui envolve conversão de coordenadas parametrizadas para coordenadas cartesianas, usando trigonometria básica e entendimento das relações entre as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as primeiras duas componentes da função vetorial:
e
. Essas equações nos lembram das fórmulas paramétricas de um círculo no plano xy. Sabemos que, para um círculo de raio
, as coordenadas são dadas por
e
, onde
é o ângulo.
Passo 3
Aqui, o raio
é 2, então temos
e
. Para eliminar o parâmetro
e encontrar a equação em coordenadas cartesianas, usamos a identidade trigonométrica
. Dividindo ambos os lados por 4, temos:
Multiplicando tudo por 4 para simplificar:
Isso nos mostra que a superfície é um cilindro circular de raio 2 ao longo do eixo z.
Passo 4
Agora, vamos considerar a terceira componente da função vetorial:
. O intervalo para
é
. Como
, podemos reescrever essa desigualdade como:
Nosso objetivo é expressar essa desigualdade apenas em termos de
, já que temos
.
Passo 5
A partir de
, podemos resolver para
:
Substituindo isso na desigualdade para
:
Então, temos que
varia de 0 até
.
Resposta
A superfície em coordenadas cartesianas é descrita por: