Parametrize a superfície
dada.
: a semi-esfera
. Resp.:
.
Passo 1
Então, a gente tem que parametrizar a superfície
que é uma semi-esfera definida pela equação
com
. Isso significa que estamos lidando com geometria espacial, especificamente com superfícies esféricas. Para resolver isso, vamos utilizar coordenadas esféricas, que facilitam a descrição de pontos em uma esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
(a distância do ponto à origem),
(o ângulo no plano
a partir do eixo
), e
(o ângulo a partir do eixo
). As fórmulas de transformação para coordenadas cartesianas são:
Como nossa semi-esfera tem raio
, vamos definir
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar os intervalos para os ângulos
e
. O ângulo
varia em torno do eixo
, cobrindo toda a circunferência horizontal da esfera, então
vai de
a
. Já
é o ângulo a partir do eixo
. Como queremos apenas a parte superior da esfera (
),
deve variar de
(ponto no topo) até
(equador da esfera).
Passo 4
Com tudo isso em mente, podemos escrever a parametrização da semi-esfera
usando as coordenadas esféricas:
Onde:
Resposta
A parametrização da superfície
é: