Parametrize a superfície S dada.
S : a semi-esfera x^2+y^2+z^2=9, z >= 0. Resp.: r(theta, phi)=(3 cos theta sin phi, 3 sin theta sin phi, 3 cos phi), 0 <= theta< 2 pi, 0 <= phi <= pi2.

Passo 1

Então, a gente tem que parametrizar a superfície S que é uma semi-esfera definida pela equação x^2+y^2+z^2=9 com z >= 0 . Isso significa que estamos lidando com geometria espacial, especificamente com superfícies esféricas. Para resolver isso, vamos utilizar coordenadas esféricas, que facilitam a descrição de pontos em uma esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros: r (a distância do ponto à origem), theta (o ângulo no plano xy a partir do eixo x ), e phi (o ângulo a partir do eixo z ). As fórmulas de transformação para coordenadas cartesianas são:
x = r cos theta sin phi
y = r sin theta sin phi
z = r cos phi
Como nossa semi-esfera tem raio 3 , vamos definir r = 3 .

Passo 3

Agora, precisamos determinar os intervalos para os ângulos theta e phi . O ângulo theta varia em torno do eixo z , cobrindo toda a circunferência horizontal da esfera, então theta vai de 0 a 2pi . Já phi é o ângulo a partir do eixo z . Como queremos apenas a parte superior da esfera ( z >= 0 ), phi deve variar de 0 (ponto no topo) até pi2 (equador da esfera).

Passo 4

Com tudo isso em mente, podemos escrever a parametrização da semi-esfera S usando as coordenadas esféricas:
r(theta, phi) = (3 cos theta sin phi, 3 sin theta sin phi, 3 cos phi)
Onde:
0 <= theta < 2pi
0 <= phi <= pi2

Resposta

A parametrização da superfície S é:
r(theta, phi) = (3 cos theta sin phi, 3 sin theta sin phi, 3 cos phi), 0 <= theta < 2pi, 0 <= phi <= pi2

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